Lemniskata Bernoulliego

Lemniskata Bernoulliego – krzywa płaska będąca zbiorem punktów, dla których iloczyn odległości od dwóch ustalonych punktów (ognisk lemniskaty) oddalonych o $2 a$ jest stały i równy $a^{2} .$ Lemniskata Bernoulliego jest szczególnym przypadkiem owalu Cassiniego^[1].

Została ona opisana przez Jakoba Bernoulliego w 1694 roku^[1], w czasopiśmie naukowym „Acta Eruditorum”Szablon:Fakt.

Równania lemniskaty:

we współrzędnych kartezjańskich^[1]:
$(x^{2} + y^{2})^{2} = 2 a^{2} (x^{2} - y^{2}),$
we współrzędnych biegunowych^[1]:
$r^{2} = 2 a^{2} \cos 2 φ,$
równanie parametryczne Szablon:Fakt:
$x = \frac{a \sqrt{2} \cos t}{1 + \sin^{2} t}, y = \frac{a \sqrt{2} \sin t \cos t}{1 + \sin^{2} t},$ gdzie $t \in [0, 2 π) .$

Początek układu współrzędnych jest punktem rozgałęzienia. W punkcie tym są punkty przegięcia; równanie stycznych w tym punkcie: $y = \pm x .$ Przecięcie z osią $O x :$ $A, C (\pm a \sqrt{2}, 0);$ ekstrema: $\pm \frac{1}{2} a \sqrt{3}$ oraz $\pm \frac{1}{2} a$ o argumentach $φ = \pm \frac{1}{6} π .$