Sprzężenie zespolone

Geometryczna reprezentacja $z$ i jego sprzężenia $\bar{z}$ na płaszczyźnie zespolonej

Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

Przykładowo

$\overline{3+2i}=3-2i$

$\bar{i}=-i$

$\bar{5}=5$

$\overline{-2-3i}=-2+3i.$

Definicja

Sprzężeniem liczby zespolonej w postaci algebraicznej $z=a+bi,$ gdzie $a,b\in ℝ$ jest liczba $a-bi$ nazywana liczbą sprzężoną do $z$ i oznaczana zwykle symbolem $\bar{z}.$ W fizyce oraz naukach technicznych stosuje się również zapis $z^{\star }.$

W postaci biegunowej sprzężenie liczby $r{e}^{i\varphi }$ dane jest przez $r{e}^{-i\varphi }.$ Można to łatwo sprawdzić za pomocą wzoru Eulera.

Nazwę sprzężenia zespolonego prawdopodobnie wprowadził Augustin Louis Cauchy – używał jej (fr. conjuguées) w swoim Kursie analizy z 1821 roku.

Uwagi

Liczby zespolone przedstawiane są często jako punkty płaszczyzny w układzie współrzędnych kartezjańskich (por. diagram). Oś $x$-ów zawiera liczby rzeczywiste, zaś oś $y$-ów zawiera liczby urojone. Przy takiej interpretacji sprzężenie zespolone odpowiada symetrii względem osi $x.$

Pary liczb sprzężonych są warte uwagi, ponieważ jednostka urojona $i$ jest jakościowo różna od swojej odwrotności addytywnej i multiplikatywnej $-i,$ jako że obie z nich spełniają definicję jednostki urojonej: $x^2=-1$ dla $x\in ℝ.$ Dlatego w najbardziej „naturalnych” okolicznościach, jeżeli liczba zespolona daje rozwiązanie problemu, to daje je również jej sprzężenie, jak to jest w przypadku rozwiązań zespolonych równania kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych.

Sprzężenie zespolone jest jedynym oprócz identyczności ciągłym automorfizmem ciała liczb zespolonych, a przy tym działanie to jest inwolucją, czyli $\overline{(z)}=z.$ Zachowuje ono moduł oraz zmienia argument liczby zespolonej na przeciwny.

Własności

Niech $z,w$ będą liczbami zespolonymi, a $r$ będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas

• liczbą sprzężoną do liczby rzeczywistej $r$ jest ta sama liczba:

  $\bar{r}=r;$

• liczbą sprzężoną do sumy liczb jest suma liczb sprzężonych:

  $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w};$

• liczbą sprzężoną do iloczynu liczb jest iloczyn liczb sprzężonych:

  $\overline{zw}=\bar{z}\bar{w};$

• moduł liczby sprzężonej jest taki sam, jak moduł danej liczby:

  $|\bar{z}|=|z|;$

• jeden z argumentów liczby sprzężonej jest taki sam, jak argument danej liczby, ale z przeciwnym znakiem:

  $\arg (\bar{z})=-\arg (z);$

• suma danej liczby zespolonej oraz liczby do niej sprzężonej jest liczbą rzeczywistą i wynosi:

  $z+\bar{z}=2\mathrm{Re}z;$

• iloczyn danej liczby i liczby do niej sprzężonej jest nieujemną liczbą rzeczywistą i wynosi:

  $z\bar{z}=|z{|}^2,$ stąd też $|z|=\sqrt{z\bar{z}};$

• jeżeli $z=ri,$ czyli jest liczbą urojoną, to liczba sprzężona jest liczbą przeciwną do danej:

  $\bar{z}=-z\iff z=ri,-z=-ri=\bar{z};$

• jeśli $z$ jest pierwiastkiem danego wielomianu rzeczywistego, to $\bar{z}$ też nim jest.

Macierz sprzężona

Szablon:Osobny artykuł Macierz sprzężona (trywialnie) do danej to macierz, której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy zespolonej:

$𝐀=[a_{ij}]\mapsto \overline{𝐀}=[\overline{a_{ij}}]$

Znacznie jednak ważniejszą operacją jest sprzężenie hermitowskie macierzy, tzn. sprzężenie złożone z transpozycją.

Przykład

$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}2+3i& 1-2i& -1+2i\\ 0& -2& 3+2i\\ -i& 2-i& 2+i\end{array}\right]\mapsto \overline{𝐀}=\left[\begin{array}{ccc}2-3i& 0& i\\ 1+2i& -2& 2+i\\ -1-2i& 3-2i& 2-i\end{array}\right]$

Uogólnienia

Sprzężenie można uogólnić na kwaterniony: sprzężeniem kwaternionu $a+bi+cj+dk$ jest kwaternion $a-bi-cj-dk.$ Można także uogólnić je na przypadek dowolnego innego ciała kwadratowego, np. w ciele $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ można określić je wzorem $f(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2},$ a także na liczby dualne. Sprzęgać można również dwumiany. Sprzężenie we wszystkich podanych przypadkach ma dwie ważne własności: jest automorfizmem oraz inwolucją.

Zobacz też

• argument liczby zespolonej
• liczby zespolone
• moduł liczby zespolonej