Suma statystyczna

Szablon:Dopracować Suma statystyczna – pojęcie pomocnicze w mechanice statystycznej, pozwala obliczyć równowagowe funkcje stanu. Oznaczana jako $Z,$ wyraża się wzorem:

$Z=\sum _{\sigma }\exp (-\beta E_{\sigma })=\sum _{\sigma }\exp (-\frac{E_{\sigma }}{k_{B}T}).$

gdzie:

${\mathrm{\Sigma }}_{\sigma }$ – suma po stanach mikroskopowych,

$\sigma$ – indeks stanu mikroskopowego,

$E_{\sigma }$ – jego energia,

$\beta =1/(k_{B}T),$

$k_B$ – stała Boltzmanna,

$T$ – temperatura w skali Kelvina.

Przykładowo energia swobodna wyraża się jako:

$F=-k_{B}T\ln (Z).$

W mechanice kwantowej analogiem sumy statystycznej jest ślad macierzy operatora gęstości stanów, czyli:

$Z=\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{(}{\mathrm{e}}^{\mathrm{-}\mathrm{\beta }\mathrm{(}\hat{\mathrm{H}}\mathrm{-}\mathrm{\mu }\hat{\mathrm{N}}\mathrm{)}}\mathrm{)}$

występuje on w definicji wartości średniej z obserwabli:

$⟨A⟩=\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{(}\hat{\mathrm{\rho }}\hat{\mathrm{A}}\mathrm{)},$

gdzie:

$\hat{\rho }=\frac{1}{Z}{e}^{-\beta (\hat{H}-\mu \hat{N})},$

$\hat{H}$ – hamiltonian układu fizycznego,

$\mu$ – potencjał chemiczny,

$\hat{N}$ – operator liczby cząstek (jeżeli w układzie jest zachowana liczba cząstek).