Funkcja algebraiczna

Funkcja algebraiczna – funkcja $f$ o wartościach w pewnym pierścieniu, dla której istnieją takie wielomiany $W_n,W_{n-1},\dots ,W_1,W_0$ nie wszystkie równe tożsamościowo zeru, że spełnione jest równanie:

$W_n{f}^n+W_{n-1}{f}^{n-1}+\dots +W_{1}f+W_0=0.$

Funkcję, która nie jest algebraiczna, nazywa się przestępną.

Do funkcji algebraicznych należą wszystkie funkcje wymierne, w tym wszystkie wielomiany. Funkcję algebraiczną, która nie jest funkcją wymierną, nazywamy funkcją niewymierną. Przykładem funkcji niewymiernej jest $f(x)=\sqrt[n]{x}$ $(n>1).$

Przykłady i zastosowania

• Funkcja $y=\sqrt{x}$ jest algebraiczna, bo dla każdego $x$ z jej dziedziny $(x⩾0)$ spełnione jest równanie $(\sqrt{x}{)}^2-x=0.$ Odpowiednimi wielomianami są tu $W_2=1,$ $W_1=0$ oraz $W_0=-x.$
• Funkcja $y=e^x$ jest przestępna.
• Funkcje trygonometryczne są przestępne.
• Pochodne funkcji cyklometrycznych są funkcjami algebraicznymi, dlatego mogą służyć np. do przybliżania i szukania ekstremów tych pierwszych.
• Pierwiastki z funkcji kwadratowych służą do opisu krzywych stożkowych: elipsy (w tym koła), paraboli i hiperboli, uzupełniając w ten sposób funkcje kwadratowe i homograficzne.
• W szczególnej teorii względności Einsteina (oraz starszej teorii eteru Lorentza) czynnik Lorentza jest algebraiczną funkcją prędkości.
• Logarytmiczny dekrement tłumienia jest algebraiczną funkcją współczynnika tłumienia oraz częstości drgań własnych.

Zobacz też

• liczba algebraiczna

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-05-31].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-05-31].
• Szablon:Otwarty dostęp Algebraic function Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].
• Szablon:Otwarty dostęp Transcendental function Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].