Zakaz usuwania

Zakaz usuwania (ang. no-deleting theorem) – twierdzenie mówiące, że mając dwie kopie nieznanego stanu kwantowego nie można usunąć jednej z nich^[1]. Jest dopełnieniem zakazu klonowania^[2]^[3], zgodnie z którym nie można skopiować nieznanego stanu kwantowego, jak i zakazu ukrywania, zgodnie z którym informacja kwantowa usunięta z systemu kwantowego do środowiska nie może pozostawać w korelacji pomiędzy systemem a środowiskiem.

Twierdzenie

Poszukujemy transformacji pozwalającej na usunięcie jednej z dwóch kopii nieznanego stanu kwantowego $| ψ ⟩$ (zob. Notacja Diraca) poprzez zastąpienie jej stanem standardowym $| 0 ⟩ .$ W odróżnieniu od twierdzenia o zakazie klonowania wprowadzamy tu dodatkowy kubit pomocniczy $| A ⟩_{C}$ określający stan maszyny usuwającej i dopuszczamy możliwość zmiany stanu $| A ⟩_{C}$ na $| A_{ψ} ⟩_{C}$ w wyniku tej transformacji.

Twierdzenie: Nie istnieje uniwersalna liniowa i izometryczna (nie zakładamy, że unitarna) transformacja

| ψ ⟩_{A} | ψ ⟩_{B} | A ⟩_{C} \to | ψ ⟩_{A} | 0 ⟩_{B} | A_{ψ} ⟩_{C},

w wyniku działania której dowolny, nieznany stan $| ψ ⟩_{B}$ zostałby zastąpiony stanem $| 0 ⟩_{B},$ tj. usunięty.

Dowód: Rozważmy usuwanie pojedynczego kubitu:

| ψ ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ .

Transformacja, której poszukujemy powinna usunąć kopię $| ψ ⟩_{B}$ tego kubitu w każdym z jego stanów standardowych $| 0 ⟩$ i $| 1 ⟩,$ tj.

| 0 ⟩_{A} | 0 ⟩_{B} | A ⟩_{C} \to | 0 ⟩_{A} | 0 ⟩_{B} | A_{0} ⟩_{C},

| 1 ⟩_{A} | 1 ⟩_{B} | A ⟩_{C} \to | 1 ⟩_{A} | 0 ⟩_{B} | A_{1} ⟩_{C} .

Dla kubitu o dowolnym stanie na jej wejściu mamy:

| ψ ⟩_{A} | ψ ⟩_{B} | A ⟩_{C} = α^{2} | 0 ⟩_{A} | 0 ⟩_{B} | A ⟩_{C} + β^{2} | 1 ⟩_{A} | 1 ⟩_{B} | A ⟩_{C} + α β | 0 ⟩_{A} | 1 ⟩_{B} | A ⟩_{C} + α β | 1 ⟩_{A} | 0 ⟩_{B} | A ⟩_{C} .

Z drugiej strony, ponieważ poszukiwana transformacja jest liniowa, wykorzystując jej zamierzone działanie dla stanów spolaryzowanych, na jej wyjściu otrzymamy:

\to α^{2} | 0 ⟩_{A} | 0 ⟩_{B} | A_{0} ⟩_{C} + β^{2} | 1 ⟩_{A} | 0 ⟩_{B} | A_{1} ⟩_{C} + \sqrt{2} α β | Φ ⟩_{A B C},

stosując transformację:

(| 0 ⟩_{A} | 1 ⟩_{B} | A ⟩_{C} + | 1 ⟩_{A} | 0 ⟩_{B} | A ⟩_{C}) / \sqrt{2} \to | Φ ⟩_{A B C} .

gdzie $| Φ ⟩_{A B C}$ oznacza dowolny znormalizowany stan kwantowy niezależny od $α$ i $β .$

Definicja poszukiwanej transformacji usuwającej zakłada jednak, że w wyniku jej działania powinniśmy otrzymać:

\to | ψ ⟩_{A} | 0 ⟩_{B} | A_{ψ} ⟩_{C} = (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) | 0 ⟩_{B} | A_{ψ} ⟩_{C} .

Ponieważ stan $| Φ ⟩_{A B C}$ jest niezależny od $α$ i $β$ zatem stan $| A_{ψ} ⟩_{C}$ musi być od nich liniowo zależny:

| A_{ψ} ⟩_{C} = α | A_{0} ⟩_{C} + β | A_{1} ⟩_{C},

skąd:

| Φ ⟩_{A B C} = (| 0 ⟩_{A} | 0 ⟩_{B} | A_{1} ⟩_{C} + | 1 ⟩_{A} | 0 ⟩_{B} | A_{0} ⟩_{C}) / \sqrt{2} .

Ponadto stan wynikowy powinien być znormalizowany dla wszystkich $α$ i $β,$ co oznacza, że stany $| A_{0} ⟩_{C}$ i $| A_{1} ⟩_{C}$ muszą być ortogonalne. Tym samym liniowość mechaniki kwantowej zapewnia, że poszukiwana transformacja nie usuwa stanu $| ψ ⟩_{B} = α | 0 ⟩_{B} + β | 1 ⟩_{B},$ a jedynie zamienia go na kubit pomocniczy $| A_{ψ} ⟩_{C} :$

| ψ ⟩_{A} | ψ ⟩_{B} | A ⟩_{C} \to | ψ ⟩_{A} | 0 ⟩_{B} (α | A_{0} ⟩_{C} + β | A_{1} ⟩_{C}) .

Zobacz też

Przypisy

Szablon:Przypisy

↑ A.K. Pati, S.L. Braunstein, Impossibility of Deleting an Unknown Quantum State, „Nature” 404 (2000), s. 164.
↑ W.K. Wootters, W.H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned, „Nature” 299 (1982), s. 802.
↑ D. Dieks, Communication by EPR devices, „Physics Letters A”, vol. 92(6) (1982), s. 271.

[1] A.K. Pati, S.L. Braunstein, Impossibility of Deleting an Unknown Quantum State, „Nature” 404 (2000), s. 164.

[2] W.K. Wootters, W.H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned, „Nature” 299 (1982), s. 802.

[3] D. Dieks, Communication by EPR devices, „Physics Letters A”, vol. 92(6) (1982), s. 271.

[1]

[2]

[3]

Zakaz usuwania

Twierdzenie

Zobacz też

Przypisy

Menu nawigacyjne

Szukaj