Zakaz ukrywania

Zakaz ukrywania (ang. no-hiding theorem) – twierdzenie mówiące, że jeśli informacja kwantowa zostanie utracona z systemu poprzez dekoherencję, to przemieszcza się ona do podprzestrzeni środowiska i nie może pozostawać w korelacji między systemem a środowiskiem. Wynika to z liniowości i unitatrności mechaniki kwantowej. W ten sposób informacja kwantowa nie podlega utracie. Ma to konsekwencje dla paradoksu informacji czarnych dziur, a właściwie dla każdego procesu, który zmierza do całkowitej utraty informacji kwantowej. Twierdzenie o zakazie ukrywania jest odporne na niedoskonałości procesu fizycznego, który pozornie niszczy oryginalną informację kwantową.

Jest dopełnieniem zakazu klonowania, zgodnie z którym nie można skopiować nieznanego stanu kwantowego, jak i zakazu usuwania mówiącego, że mając dwie kopie nieznanego stanu kwantowego, nie można usunąć jednej z nich.

Twierdzenie o zakazie ukrywania zostało postawione i udowodnione przez Samuela L. Braunsteina i Aruna K. Pati (twórcy zakazu usuwania) w 2007 r. W 2011 r. zakaz ukrywania został eksperymentalnie potwierdzony przy użyciu urządzeń do magnetycznego rezonansu jądrowego, w których pojedynczy kubit poddano całkowitej randomizacji, tj. jego stan czysty przekształcono w losowy stan mieszany. Następnie odzyskano utracone informacje z kubitów pomocniczych przy zastosowaniu odpowiedniej lokalnej transformacji unitarnej w przestrzeni Hilberta środowiska zgodnie z twierdzeniem o zakazie ukrywania. Ten eksperyment po raz pierwszy potwierdził zachowanie informacji kwantowej.

Twierdzenie

Rozważmy pewien proces fizyczny, który transformuje dowolny stan kwantowy określony macierzą gęstości ${\rho }_I$ z podprzestrzeni I (wejście) do większej przestrzeni Hilberta. Proces ten będzie procesem ukrywającym, jeżeli istnieje pewna podprzestrzeń O (wyjście), tej większej przestrzeni Hilberta, której stan kwantowy określony macierzą gęstości ${\sigma }_O$ jest niezależny od stanu wejściowego, co można zapisać jako

${\rho }_I\to {\sigma }_O\text{ gdzie }\sigma =\text{const }\mathrm{\forall }\rho .$

Pozostałą część tej większej przestrzeni Hilberta można potraktować jako zbiór kubitów pomocniczych (ang. Ancilla) A.

Aby rozważany proces był fizyczny, musi być liniowy i unitarny. Z uwagi na liniowość wystarczające jest rozważenie działania tego procesu dla dowolnego czystego stanu kwantowego ${\rho }_I=|\psi {⟩}_I⟨\psi {|}_I.$ Unitarność pozwala z kolei na odpowiednie zwiększenie liczby kubitów pomocniczych, dzięki czemu rozważany proces ukrywający można uznać za przekształcenie liniowe stanów czystych w stany czyste, co można wyrazić za pomocą rozkładu Schmidta stanu wyjściowego, jako

$|\psi {⟩}_I\to \sum _k\sqrt{p_k}|k{⟩}_O\otimes |A_k(\psi ){⟩}_A,$

gdzie $p_k$ to niezerowe wartości własne macierzy gęstości $\sigma ,$ $\{|k⟩\}$ to wektory własne tej macierzy i zarówno $\{|k⟩\},$ jak i stan pomocniczy $\{|A_k⟩\}$ stanowią bazy ortonormalne. Powyższe przekształcenie zakłada zależność stanu pomocniczego $|A_k(\psi ){⟩}_A$ od stanu wejściowego $|\psi ⟩$ (tj. możliwość ukrycia w tej zależności informacji o stanie wejściowym), jednak z uwagi na zakładaną liniowość procesu ukrywającego stan pomocniczy będzie się składał z ortonormalnego zbioru stanów nawet przy superpozycji stanu wejściowego

$|A_k(\alpha |\psi ⟩+\beta |{\psi }_{\mathrm{\perp }}⟩)⟩=\alpha |A_k(\psi )⟩+\beta |A_k({\psi }_{\mathrm{\perp }})⟩,$

gdzie $|{\psi }_{\mathrm{\perp }}⟩$ oznacza dowolny stan ortogonalny do $|\psi ⟩.$ Iloczyn skalarny takich dwóch stanów pomocniczych k, l

${\alpha }^{\ast }\beta ⟨A_l(\psi )|A_k({\psi }_{\mathrm{\perp }})⟩+\alpha {\beta }^{\ast }⟨A_l({\psi }_{\mathrm{\perp }})|A_k(\psi )⟩=0,$

a zatem dla dowolnych amplitud prawdopodobieństwa $\alpha ,$ $\beta$ wszystkie elementy pozadiagonalne muszą być zerowe. Przyjmując ortonormalną bazę $\{|{\psi }_j⟩,j=1,...,d\}$ stanu wejściowego, można zdefiniować ortonormalną bazę $|A_{kj}⟩\equiv |A_k({\psi }_j)⟩$ rozpiętą na Kd-wymiarowej przestrzeni Hilberta, która w pełni opisuje zredukowany stan pomocniczy. Ponieważ unitarność pozwala na przekształcenie dowolnej bazy ortonormalnej w inną, tak zdefiniowaną bazę możemy zapisać jako

$|A_{kj}⟩=|q_k⟩\otimes |{\psi }_j⟩\oplus 0,$

gdzie $\{|q_k⟩\}$ jest bazą ortonormalną $K$ stanów, a $\oplus 0$ odzwierciedla fakt, że niewykorzystane wymiary przestrzeni Hilberta środowiska można powiększyć o wektory zerowe. Tym samym proces fizyczny nie ukrywa stanu wejściowego w zakładanych zależnościach stanu pomocniczego od stanu wejściowego, lecz jedynie zamienia stan wejściowy $|\psi {⟩}_I$ ze stanem pomocniczym $|A_{kj}{⟩}_A.$ Rozważany proces ukrywający ma zatem postać

$|\psi {⟩}_I\to \sum _k\sqrt{p_k}|k{⟩}_O\otimes (|q_k⟩\otimes |{\psi }_j⟩\oplus 0{)}_A.$

Dowód zakazu ukrywania opiera się na liniowości i unitarności mechaniki kwantowej. Oryginalna informacja, której brakuje w stanie końcowym, pozostaje w podprzestrzeni przestrzeni Hilberta środowiska. Ponadto informacja poddana transformacji przez ten proces fizyczny nie może pozostawać w korelacji pomiędzy systemem a środowiskiem, co stanowi istotę zakazu ukrywania.

Ukrywanie informacji klasycznej

Zakaz ukrywania nie dotyczy informacji klasycznej, czego przykładem jest szyfr z kluczem jednorazowym. W swojej najprostszej formie, wiadomość binarna jest szyfrowana przy użyciu losowego klucza binarnego, który określa, czy odwrócić każdy bit wiadomości (0 na 1, 1 na 0). Wiadomość może odkodować każdy, kto ma dostęp do zakodowanej wiadomości oraz (tajnego) klucza. Ponieważ zakodowana wiadomość nadal zawiera bity nieodwrócone pojawia się pytanie czy można z niej wyodrębnić fragmenty wiadomości niezakodowanej. W 1949 r. Claude E. Shannon udowodnił jednak, że zakodowany ciąg bitów nie zawiera żadnych informacji o wiadomości niezakodowanej – jest on nie do odróżnienia od losowego ciągu bitów. Skoro ani zakodowana wiadomość ani klucz kodujący, jako takie, nie zawierają żadnych informacji o wiadomości niezakodowanej, są one przechowywane (ukryte) w korelacjach między tymi dwoma ciągami.

Zobacz też

• zakaz klonowania
• zakaz usuwania
• zasada Landauera