Wzór trapezów

Wzór trapezów – jeden z wzorów służących do przybliżonego obliczania całek oznaczonych w sensie Riemanna. Idea wzoru opiera się na geometrycznej interpretacji całki oznaczonej z funkcji nieujemnej jako pola pod wykresem funkcji.

Jeżeli przedział całkowania $[a,b]$ podzielony zostanie punktami $x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}$ na $n$ równych części o długościach $(b-a)/n,$ i w figurę ograniczoną na prostymi $x=a,$ $x=b,$ osią odciętych oraz wykresem funkcji $y=f(x)$ wpiszemy trapezy jak pokazano na rysunku poniżej,

to pola kolejnych trapezów wynoszą:

$\frac{b-a}{n}\cdot \frac{f(x_0)+f(x_1)}{2},\frac{b-a}{n}\cdot \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},\dots ,\frac{b-a}{n}\cdot \frac{f(x_{n-1})+f(x_n)}{2},$

gdzie dla jednolitości oznaczono $a=x_0$ i $b=x_n.$

Suma pól trapezów jest w przybliżeniu równa polu całego obszaru, czyli:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2n}(f(x_0)+f(x_n)+2f(x_1)+\dots +2f(x_{n-1})).$

Ten właśnie wzór nazywany jest wzorem trapezów.

W przypadku funkcji ciągłej na przedziale $[a,b],$ wzór trapezów pozwala obliczać jej całkę oznaczoną na tym przedziale z dowolną dokładnością, wystarczy w tym celu wziąć za $n$ odpowiednio dużą liczbę. Błąd przybliżenia daje się oszacować w przypadku funkcji, która ma na przedziale $[a,b]$ ciągłą drugą pochodną:

$|R_n|⩽\left|\frac{(b-a{)}^3}{12n^2}K\right|,$

gdzie $K$ oznacza największą wartość funkcji $|f^{″}(x)|$ w przedziale $[a,b].$

Obecnie wzór trapezów ma znaczenie wyłącznie historyczne – dostępne programy do całkowania numerycznego stosują dokładniejsze metodySzablon:Fakt, a użycie komputera pozwala ograniczyć czasochłonne ręczne rachunki.

Zobacz też

• metoda trapezów
• wzór parabol Simpsona
• wzór prostokątów