Wzór prostokątów

Szablon:Dopracować Wzór prostokątów – metoda pozwalająca przy użyciu pojęcia całki Riemanna obliczyć sumę pól obszarów pod wykresem krzywej w wybranym przedziale całkowania $<x_a,x_b>.$ Przy pomocy sumy pól prostokątów można tę sumę przybliżyć.

Zgodnie z tą metodą należy wykonać kolejno:

• Przedział całkowania $<x_a,x_b>$ dzielimy punktami $x_i$ na $n$ równych części. Im większe jest $n$ tym przybliżenie staje się dokładniejsze.

dla $i=1,2\dots ,n$ mamy następujący wzór:

$x_i=x_a+\frac{i}{n}(x_b-x_a).$

• Obliczamy odległość między kolejnymi punktami podziału. Odległość ta będzie jednocześnie długością podstawy prostokąta.

$dx=\frac{x_b-x_a}{n}$

• Obliczamy wartości funkcji w każdym punkcie podziału:

$f_i=f(x_i)$ dla $i=1,2\dots ,n.$

• Obliczamy sumę iloczynów wyznaczonych funkcji przez odległość $dx$

$S=f_{1}dx+f_{2}dx+\dots +f_{n}dx$

Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias:

$S=dx(f_1+f_2+\dots f_n)$

Otrzymana suma jest wartością przybliżoną całki oznaczonej w przedziale całkowania $<x_a,x_b>.$ Zatem otrzymujemy następujący wzór:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{x_b-x_a}{n}\cdot \sum _{i=1}^{n}f(x_a+i\frac{x_b-x_a}{n}).$

Błąd

Dla funkcji różniczkowalnej $f$ błąd aproksymacji w przedziale $(a,a+\mathrm{\Delta })$ wynosi:

$E_i⩽\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{2}{f}^{\prime }(\xi )$

dla pewnego $\xi \in (a,a+\mathrm{\Delta }),$ $n=1,2,3,\dots ,n.$

Zsumowanie tych błędów dla $n$ przedziałów daje

$E⩽\frac{n{\mathrm{\Delta }}^2}{2}{f}^{\prime }(\xi )$

Ponieważ $n\cdot \mathrm{\Delta }=b-a,$ więc

$E⩽\frac{(b-a)\mathrm{\Delta }}{2}{f}^{\prime }(\xi )$

dla pewnego $\xi \in (a,b).$

Zobacz też

• metoda Simpsona
• metody Newtona-Cotesa
• wzór trapezów

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę