Metody Newtona-Cotesa

Metody Newtona-Cotesa – zbiór metod numerycznych całkowania, zwanego również kwadraturą. Nazwa pochodzi od Isaaca Newtona i Rogera Cotesa.

Przyjmujemy, że wartości funkcji $f(x)$ są znane w równo oddalonych punktach (węzłach) $x_i,$ dla $i=0,\dots ,n.$ Dla węzłów nierówno oddalonych od siebie maja zastosowanie inne wzory np. kwadratura gaussowska.

Jeżeli $a=x_0<x_1<x_2,\dots <x_{n-1}<x_n=b$ są równoodległymi węzłami interpolacji funkcji $f(x)$ (tj. $x_i$ są elementami dziedziny $f,$ dla których znana jest wartość $f(x_i)=y_i$), to całkę:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

można aproksymować całką:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{L}_n(x)dx$

gdzie $L_n(x)dx$ jest wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a stopnia co najwyżej $n,$ przybliżającym funkcję $f(x)$ w węzłach interpolacji, tj.:

$L_n(x_0)=y(x_0),L_n(x_1)=y(x_1),\dots ,L_n(x_n)=y(x_n)$

Niech $h_n=\frac{b-a}{n}$ oznacza długość kroku dzielącą dwa węzły interpolacji.

Wprowadzając zmienną $t,$ taką że $x=a+th$ można zapisać:

${\lambda }_i(x)={\lambda }_i(a+th)=\prod _{j=0\wedge j\ne i}^n\frac{t-j}{i-j}=g(t).$

Wtedy:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{L}_n(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sum _{i=0}^{n}f(x_i)\cdot {\lambda }_i(x)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)\cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}{\lambda }_i(x)dx$

$x=a+t\cdot h,$

$f(x_i)=f(a+i\cdot h)$

$x_i=a+i\cdot h$

dla $a=x_{0}t=0$

dla $x_{1}t=1$

$\dots$

dla $b=x_{n}t=n$

$dx=(x{)}^{\prime }=1$

$dt=(a+t\cdot h)dt=(a+t\cdot h{)}^{\prime }=h=dt$

Zmieniając zmienną oraz granice całkowania, otrzymuje się:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{L}_i(x)dx=h\cdot \underset{0}{\overset{n}{\int }}g(t)dt.$

Ostatecznie, wzór Newtona-Cotesa dla $n+1$ równo odległych węzłów przyjmuje postać:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{L}_n(x)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)\cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}{\lambda }_i(x=a+t\cdot h)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)\cdot h\cdot \underset{0}{\overset{n}{\int }}\prod _{j=0\wedge j\ne i}^n\frac{t-j}{i-j}dt.$

Przyjmując za $A_i=h\cdot \underset{0}{\overset{n}{\int }}\prod _{j=0\wedge j\ne i}^n\frac{t-j}{i-j}dt$ (nazywane współczynnikami kwadratury Newtona-Cotesa), otrzymuje się:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\approx \sum _{i=0}^{n}f(x_i)\cdot A_i.$

• $A_i=A_{n-i}$

Dowód:

$A_i=h\cdot \underset{0}{\overset{n}{\int }}\prod _{j=0\wedge j\ne i}^n\frac{t-j}{i-j}dt$

Niech $v=n-t.$

Wtedy:

$dt=-dv$

$A_i=-h\cdot \underset{n}{\overset{0}{\int }}\prod _{j=0\wedge j\ne i}^n\frac{n-v-j}{i-j}dv=$

Odwrócenie granic całkowania:

$=h\cdot \underset{0}{\overset{n}{\int }}\prod _{j=0\wedge j\ne i}^n\frac{n-j-v}{(n-j)-(n-i)}dv=$

Niech $(n-j)=j^{\prime }.$

$=h\cdot \underset{0}{\overset{n}{\int }}\prod _{j^{\prime }=0\wedge j^{\prime }\ne (n-i)}^n\frac{j^{\prime }-v}{j^{\prime }-(n-i)}dv=$

Po wyciągnięciu (–1) przed licznik i mianownik:

$=h\cdot \underset{0}{\overset{n}{\int }}\prod _{v^{\prime }=0\wedge v^{\prime }\ne (n-i)}^n\frac{v-v^{\prime }}{(n-i)-v^{\prime }}dv=A_{n-i}$

Definiuje się dwa typy wzorów Newtona-Cotesa:

• otwarte, które nie wykorzystują wartości funkcji w skrajnych punktach, oraz
• zamknięte, wykorzystujące wszystkie wartości funkcji.

Zamknięty wzór Newtona-Cotesa rzędu $n:$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^n{w}_{i}f(x_i),$

gdzie $x_i=hi+x_0,$ z $h$ (nazywanym rozmiarem kroku) równym $(x_n-x_0)/n$ oraz $w_i$ są wagami. Wagi można wyprowadzić z wielomianów bazowych Lagrange’a. To oznacza, że zależą tylko od $x_i,$ a nie od funkcji $f.$ $L(x)$ wielomianem interpolacji w postaci Lagrange’a dla punktów $(x_0,f(x_0)),\dots (x_n,f(x_n))$

$\begin{array}{cc}& \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\\ \approx & \underset{a}{\overset{b}{\int }}L(x)dx\\ =& \underset{a}{\overset{b}{\int }}\sum _{i=0}^{n}f(x_i)l_i(x)dx\\ =& \sum _{i=0}^n\underset{x_{i-1}}{\overset{x_i}{\int }}f(x_i)l_i(x)dx\\ =& \sum _{i=0}^{n}f(x_i)\underset{w_i}{\underbrace{\underset{x_{i-1}}{\overset{x_i}{\int }}{l}_i(x)dx}}.\end{array}$

Otwarty wzór Newtona-Cotesa rzędu $n:$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n-1}{w}_{i}f(x_i)$

wagi znajdujemy w sposób analogiczny do powyższego.

• Możemy skonstruować wzór Newtona-Cotesa dowolnego rzędu.
• Niektóre wzory niskich rzędów mają swoje tradycyjne nazwy.
• W poniższej tabeli znajdują się wzory Newtona-Cotesa typu zamkniętego.
• Notacja $f_i$ oznacza $f(x_i).$

Rząd	Tradycyjna nazwa	Wzór	Błąd
1	wzór trapezów	$\frac{h}{2}(f_0+f_1)$	$-\frac{h^3}{12}{f}^{(2)}(\xi )$
2	wzór Simpsona	$\frac{h}{3}(f_0+4f_1+f_2)$	$-\frac{h^5}{90}{f}^{(4)}(\xi )$
3	reguła 3/8	$\frac{3h}{8}(f_0+3f_1+3f_2+f_3)$	$-\frac{3h^5}{80}{f}^{(4)}(\xi )$
4	wzór Boole’a czasem błędnie nazywany wzorem Bode’a	$\frac{2h}{45}(7f_0+32f_1+12f_2+32f_3+7f_4)$	$-\frac{8h^7}{945}{f}^{(6)}(\xi )$

Wykładnik o kroku $h$ w wyrazie błędu pokazuje szybkość zmniejszania się błędu przybliżenia. Pochodna $f$ w wyrazie błędu pokazuje który wielomian może być scałkowany dokładnie (tzn. z błędem równym 0). Można zauważyć, że stopień pochodnej $f$ w oszacowaniu błędu wzrasta o 2 dla co drugiego wzoru. Liczba $\xi$ leży pomiędzy $a$ i $b.$

W poniższej tabeli znajdują się wzory Newtona-Cotesa typu otwartego.

Rząd	Tradycyjna nazwa	Wzór	Błąd
0	wzór prostokątów	$2h{f}_1$	$\frac{h^3}{24}{f}^{(2)}(\xi )$
1		$\frac{3h}{2}(f_1+f_2)$	$\frac{h^3}{4}{f}^{(2)}(\xi )$
2		$\frac{4h}{3}(2f_1-f_2+2f_3)$	$\frac{28h^5}{90}{f}^{(4)}(\xi )$
3		$\frac{5h}{24}(11f_1+f_2+f_3+11f_4)$	$\frac{95h^5}{144}{f}^{(4)}(\xi )$

Warto zwrócić uwagę, że aby wzór dawał dobre przybliżenie, krok $h$ musi być mały, co oznacza, że przedział całkowania $[a,b]$ również musi być mały, co zazwyczaj nie jest spełnione. Z tego powodu dzielimy przedział na mniejsze podprzedziały i stosujemy metodę Newtona-Cotesa na każdym z tych podprzedziałów, a następnie dodając wyniki. Jest to metoda złożona.

Zobacz też

• analiza numeryczna
• metoda numeryczna

Bibliografia

• J. i M. Jankowscy, Przegląd metod i algorytmów numerycznych. Warszawa, 1981. (See Section 4.5)
• M. Abramowitz, I.A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 4.1.)
• Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Szablon:Otwarty dostęp Newton-Cotes quadrature formula Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].