Wyznacznik Slatera

Szablon:Dopracować Wyznacznik Slatera – funkcja falowa opisująca w przybliżeniu stan układu N fermionów.

Niech ${\psi }_i({\alpha }_j)$ będzie $i$-tą funkcją falową opisującą $j$-tą cząstkę. Wtedy funkcja falowa układu ma postać:

$\psi ({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_N)=\frac{1}{\sqrt{N!}}\left|\begin{array}{ccccccc}{\psi }_1({\alpha }_1)& & {\psi }_1({\alpha }_2)& & \dots & & {\psi }_1({\alpha }_N)\\ {\psi }_2({\alpha }_1)& & {\psi }_2({\alpha }_2)& & \dots & & {\psi }_2({\alpha }_N)\\ ⋮& & ⋮& & \ddots & & ⋮\\ {\psi }_N({\alpha }_1)& & {\psi }_N({\alpha }_2)& & \dots & & {\psi }_N({\alpha }_N)\end{array}\right|$

Powyższy zapis nazywamy właśnie wyznacznikiem Slatera.

Wyprowadzenie

Najprostsza funkcja falowa dla dwóch cząstek to iloczyn funkcji jednocząstkowych:

$\psi ({\alpha }_1,{\alpha }_2)={\psi }_1({\alpha }_1){\psi }_2({\alpha }_2).$

Jednak taka funkcja nie jest prawidłową funkcją falową dla fermionów, bo nie jest antysymetryczna, tzn. nie spełnia

$\psi ({\alpha }_1,{\alpha }_2)=-\psi ({\alpha }_2,{\alpha }_1).$

To oznacza, że funkcja w postaci iloczynowej nie jest zgodna z regułą Pauliego. Prawidłowa funkcja dwucząstkowa ma postać:

$\psi ({\alpha }_1,{\alpha }_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\{{\psi }_1({\alpha }_1){\psi }_2({\alpha }_2)-{\psi }_2({\alpha }_1){\psi }_1({\alpha }_2)\}.$

Ta funkcja jest antysymetryczna, a kiedy obie funkcje jednocząstkowe są takie same, jest równa zero. Oznacza to, że jest zgodna z regułą Pauliego.

Uogólnienie

Uogólniając to rozumowanie dla dowolnej liczby fermionów, otrzymujemy funkcję, którą da się zapisać w postaci wyznacznika. Widać, że ma ona wymagane własności: jest całkowicie antysymetryczna i znika, gdy dwie funkcje falowe są takie same (bo wtedy otrzymujemy dwie takie same kolumny w wyznaczniku co oznacza, że automatycznie przyjmuje on zerową wartość). Dzięki temu, że na tej drodze eliminowane są wszystkie funkcje symetryczne względem permutacji pary elektronów reguła Pauliego nie jest łamana. W ogólności wyznacznik Slatera jest definiowany jako antysymetryczny tensor wyznaczany przy pomocy rozwinięcia Laplace’a

Nazwa tej funkcji pochodzi od nazwiska amerykańskiego fizyka Johna C. Slatera (1900–1976).

Pojedynczą funkcję falową w postaci wyznacznika Slatera stosuje się w metodzie obliczeniowej Hartree-Focka. W bardziej zaawansowanych metodach obliczeniowych konieczne jest wykorzystanie kombinacji liniowej wyznaczników Slatera.

Zobacz też

• statystyka Fermiego-Diraca
• rozkład Fermiego-Diraca