Wypukłość funkcji

Wypukłość i wklęsłość funkcji – własności funkcji mówiące o położeniu jej wykresu względem stycznej do niego w danym punkcie. Jeśli wykres znajduje się

• nad styczną – mówimy, że jest wypukła,
• pod styczną – mówimy, że jest wklęsła.

Definicja

Wypukłość

Funkcję rzeczywistą $f$ określoną na zbiorze wypukłym $C$ nazywamy wypukłą, jeżeli

${\mathrm{\forall }}_{x_1,x_2\in C}{\mathrm{\forall }}_{\alpha ,\beta \in [0,1],\alpha +\beta =1}f(\alpha x_1+\beta x_2)⩽\alpha f(x_1)+\beta f(x_2).$

Jeśli $C$ jest przedziałem, to geometryczny sens powyższej nierówności jest następujący: łuk wykresu funkcji łączący dowolne dwa punkty $P,Q$ tego wykresu leży poniżej lub na cięciwie $PQ$.

Wklęsłość

Funkcję $f:C\to ℝ$ nazywamy wklęsłą w tym przedziale, jeżeli w powyższej definicji słowo poniżej zastąpimy przez powyżej, czyli innymi słowy zmienimy zwrot nierówności. Jeszcze inaczej: funkcja $f$ jest wklęsła, jeśli funkcja $-f$ jest wypukła.

Terminologia

Niewielka liczba autorów nazywa funkcje wypukłe w sensie powyższej definicji wklęsłymi i na odwrót; spotyka się też określenia wypukła w dół i wypukła w górę na funkcje wypukłą i wklęsłą odpowiednio.

Zastępując nierówności w definicji wypukłości (wklęsłości) przez nierówności ostre definiujemy funkcje ściśle wypukłe (ściśle wklęsłe)

Własności

Można pokazać, że funkcja wypukła – a zatem i wklęsła – na zbiorze otwartym jest ciągłaSzablon:Fakt. Założenie to jest istotne.

Funkcja wypukła jest kresem górnym rodziny funkcji liniowych mniejszych bądź równych od niej (punktowo).

Kryterium wypukłości funkcji ciągłych

Jeśli funkcja $f$ jest funkcją ciągłą określoną na przedziale $P\subset ℝ$ spełnia warunek

${\mathrm{\forall }}_{x,y\in P}f(\frac{x}{2}+\frac{y}{2})⩽\frac{f(x)+f(y)}{2}$

to funkcja jest wypukła na tym przedziale. Prawdziwa jest również implikacja odwrotnaSzablon:Fakt.

Funkcja różniczkowalna

Jeśli funkcja $f$ jest funkcją różniczkowalną określoną na przedziale otwartym, można podać równoważne definicje opierające się na pojęciu stycznej.

Wypukłość

Funkcja $f(x)$ jest wypukła w przedziale $(a,b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży ponad wykresem stycznej dla każdego punktu $x_0$ z przedziału $(a,b).$ W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem

${\mathrm{\forall }}_{x,x_0\in (a,b)}f(x)-f(x_0)⩾f^{\prime }(x_0)(x-x_0).$

Równanie stycznej do krzywej $y=f(x)$ w punkcie $x_0$ ma postać: $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0).$

Jeśli funkcja $f(x)$ jest dwukrotnie różniczkowalna na $(a,b),$ to aby była ona wypukła (wklęsła ku dołowi) w przedziale $(a,b),$ wystarczy żeby jej druga pochodna w tym przedziale była nieujemna: ${\mathrm{\forall }}_{x\in (a,b)}{f}^{″}(x)⩾0.$

Wklęsłość

Funkcja $f(x)$ jest wklęsła w przedziale $(a,b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży pod wykresem stycznej dla każdego punktu $x_0$ z przedziału $(a,b).$ W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem:

${\mathrm{\forall }}_{x,x_0\in (a,b)}f(x)-f(x_0)⩽f^{\prime }(x_0)(x-x_0).$

Jeśli funkcja $f(x)$ jest dwukrotnie różniczkowalna na $(a,b),$ to aby była ona wklęsła (wypukła ku górze) (w przedziale $(a,b)$), wystarczy żeby druga pochodna w tym przedziale była niedodatnia: ${\mathrm{\forall }}_{x\in (a,b)}{f}^{″}(x)⩽0.$

Punkt przegięcia

Jeżeli z jednej strony punktu $x_0$ funkcja jest wypukła zaś z drugiej wklęsła, to $x_0$ nazywamy punktem przegięcia krzywej.

O ile druga pochodna w punkcie $x_0$ istnieje, warunkiem koniecznym na to aby punkt $x_0$ był punktem przegięcia funkcji $f$ jest:

$f^{″}(x_0)=0.$

Nie jest to jednak warunek wystarczający, gdyż w punkcie $x_0$ musi nastąpić zmiana znaku drugiej pochodnej.

Przykład

Rozważmy funkcję rzeczywistą $f(x)=x^4.$ Jej druga pochodna $f^{″}(x)=12x^2$ zeruje się jedynie w punkcie $x_0=0.$ W tym punkcie nie następuje jednak zmiana znaku drugiej pochodnej co oznacza, że funkcja $f$ nie ma punktów przegięcia. Ponadto druga pochodna jest nieujemna w całej dziedzinie, więc funkcja $f$ jest funkcją wypukłą w całej dziedzinie.

Zobacz też

• nierówność Jensena