Wahanie kwadratowe

Szablon:Dopracować Wariacja kwadratowa a. wahanie kwadratowe (procesu stochastycznego) – pojęcie analizy stochastycznej używane w analizie ruchu Browna i innych martyngałów.

Definicja

Niech $X=(X_t{)}_{t⩾0}$ będzie rzeczywistym procesem stochastycznym na pewnej przestrzeni probabilistycznej. Jeżeli dla każdego $t$ istnieje granica w sensie zbieżności według prawdopodobieństwa

Szablon:Wzór

gdzie $\mathrm{\Pi }$ jest dowolnym rozbiciem przedziału $[0,t]$ postaci

$t_0=0<t_1<t_2<\dots <t_{n-1}<t_n=t,$

przy czym

$\Vert \mathrm{\Pi }\Vert =\max \{t_k-t_{k-1}:k=1,\dots ,n\},$

to proces $[X]=([X_t]{)}_{t⩾0}$ (inne oznaczenie: $⟨X⟩=(⟨X_t⟩{)}_{t⩾0}$) nazywany jest wariacją (bądź wahaniem) kwadratowym procesu $(X_t{)}_{t⩾0}.$

Ogólniej, dla pary procesów $X=(X_t{)}_{t⩾0},Y=(Y_t{)}_{t⩾0}$ zdefiniowanych na tej samej przestrzeni probabilistycznej definiuje się ich kowariację wzorem

$[X,Y{]}_t=\underset{\Vert \mathrm{\Pi }\Vert \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})(Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}})(t⩾0).$

o ile tylko odpowiednie granice istnieją w sensie zbieżności według prawdopodobieństwa. Z tożsamości polaryzacyjnej wynika wówczas, że

$[X,Y{]}_t=\frac{1}{4}([X+Y{]}_t-[X-Y{]}_t)(t⩾0).$Szablon:Odn

Procesy Itô

Wariacja kwadratowa procesu Wienera $B$ istnieje i wynosi

$[B_t]=t(t⩾0).$

Stwierdzenie to uogólnia się na inne procesy Itô, tzn. procesy, które można przedstawić w postaci

$X_t=X_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\sigma }_s\mathrm{d}{B}_s+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mu }_s\mathrm{d}s,$

gdzie $B$ jest procesem Wienera. Wówczas

$[X{]}_t=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\sigma }_s^2\mathrm{d}s.$

Bibliografia

• Rafał Latała, Wstęp do Analizy Stochastycznej, Uniwersytet Warszawski, 2011.