Twierdzenie transportu Reynoldsa

Przepływ przez objętość kontrolną

Twierdzenie transportu Reynoldsa – jedno z kluczowych twierdzeń w dynamice płynów. Umożliwia sformułowanie podstawowych praw wykorzystywanych w dynamice płynów – równania zachowania masy, drugiej zasady dynamiki Newtona oraz praw termodynamiki.

Sens twierdzenia transportu Reynoldsa można wyjaśnić, zakładając układ, w skład którego wchodzi objętość kontrolna CV (patrz rysunek obok) oraz powierzchnia kontrolną CS, przez którą przepływa płyn. Twierdzenie Reynoldsa stwierdza, że:

Szybkość zmian ekstensywnej wartości B w układzie jest równa szybkości zmian ilości tej wartości w objętości kontrolnej oraz zmianie szybkości przepływu tej wartości przez powierzchnię kontrolną.

Przykładem wartości ekstensywnej występującej w równaniu jest masa. Prawo zachowania masy stwierdza, że szybkość przyrostu (bądź spadku) masy jest równa akumulacji masy w objętości kontrolnej oraz różnicy prędkości przepływu przez powierzchnię kontrolną.

Twierdzenie to można zapisać matematycznie w postaci równania:

$\frac{(dB)}{dt}=\frac{d}{dt}\underset{CV}{\int }b\rho d\upsilon +\underset{CS}{\int }b\rho (V\cdot n)dA$

lub

$\frac{(dB)}{dt}=\underset{CV}{\int }\frac{\partial }{\partial t}b\rho d\upsilon +\underset{CS}{\int }b\rho (V\cdot n)dA,$

gdzie:

$B$ – wartość ekstensywna,

$b$ – wartość intensywna,

$\rho$ – gęstość,

$\upsilon$ – objętość,

$V$ – prędkość przepływu,

$n$ – wektor jednostkowy normalny powierzchni kontrolnej.

Postać różniczkowa tego równania z dodatkowymi założeniami nosi nazwę równania Naviera-Stokesa.

Zastosowanie w inżynierii

Stała objętość kontrolna

Ponieważ twierdzenie Reynoldsa odgrywa kluczową rolę w dynamice płynów, znajduje szerokie zastosowanie w inżynierii chemicznej oraz innych gałęziach inżynierii, w których spotkać można zagadnienia związane z przepływami płynów. Jeżeli przyjmie się pewne założenia, równanie można przekształcać i upraszczać do postaci, które można łatwo wykorzystać.

Przykładem jest bilans masy. Za wartość ekstensywną przyjmijmy masę $(B=m):$

$b=\frac{dB}{dm}=\frac{dm}{dm}=1.$

Otrzymujemy:

$\frac{(dB)}{dt}=\frac{d}{dt}\underset{CV}{\int }\rho d\upsilon +\underset{CS}{\int }\rho (V\cdot n)dA,$

zakładając przepływ ustalony (dm/dt = 0) otrzymujemy:

$0=\frac{d}{dt}\underset{CV}{\int }\rho d\upsilon +\underset{CS}{\int }\rho (V\cdot n)dA,$

jeżeli założymy, że gęstość jest stała ($\partial \rho$/$\partial t=0$) równanie przybierze postać:

$0=\underset{CS}{\int }\rho (V\cdot n)dA,$

zakładamy przepływ jest jednokierunkowy:

$0=\underset{CS}{\int }\rho VdA,$

co można zapisać:

$\sum _i({\rho }_i\cdot V_i\cdot A_i)=0$ lub $\sum _i{\dot{m}}_i=0,$

gdzie $\dot{m}$ przepływ masowy wyrażony w jednostce masy na jednostkę czasu.

Dla przypadku przedstawionego na rysunku obok równanie to przybierze prostą postać:

${\rho }_3\cdot V_3\cdot A_3={\rho }_1\cdot V_1\cdot A_1+{\rho }_2\cdot V_2\cdot A_2.$

Jeżeli $\rho =idem$

$V_3\cdot A_3=V_1\cdot A_1+V_2\cdot A_2$ (równanie ciągłości strugi).

Zachowanie masy

Przyjmując za wartość ekstensywną masę, równanie przybiera postać:

$0=\frac{d}{dt}\underset{CV}{\int }\rho d\upsilon +\underset{CS}{\int }\rho (V\cdot n)dA.$

Zachowanie energii

Jeżeli za wartość ekstensywną przyjmiemy energię, to równanie przyjmie postać:

$E=\dot{Q}-\sum \dot{W}=\frac{d}{dt}\underset{CV}{\int }e\cdot \rho d\upsilon +\underset{CS}{\int }e\cdot \rho (V\cdot n)dA.$

Jeżeli uwzględnimy wszystkie rodzaje energii (kinetyczną, wewnętrzną, potencjalną i inne) i podstawimy te wyrażenia za $e$ otrzymamy postać równania:

$E=\dot{Q}-\sum \dot{W}=\frac{d}{dt}\underset{CV}{\int }\rho (\frac{V^2}{2}+gz+\tilde{u})d\upsilon +\underset{CS}{\int }(\frac{V^2}{2}+gz+\tilde{u})\rho (V\cdot n)dA,$

gdzie:

$Q$ – ilość ciepła oddana do układu,

$W$ – praca wykonana przez układ.

Zachowanie pędu

W przypadku gdy za wartość ekstensywną przyjmiemy pęd wartość b (intensywna) staje się prędkością, natomiast lewa strona równania (zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona) przyjmuje wartość siły. Równanie można zapisać jako:

$\frac{d}{dt}(mV)=\sum _i{F}_i=\frac{d}{dt}\underset{CV}{\int }V\rho d\upsilon +\underset{CS}{\int }V\rho (V\cdot n)dA.$

Zobacz też

• dynamika płynów
• prawa zachowania