Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego

Szablon:Inne znaczenia Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego – twierdzenie analizy zespolonej orzekające, że dla funkcji holomorficznej całka z niej po drodze zamkniętej – tzw. całka okrężna – jest równa zeroSzablon:Odn. Twierdzenie to było sformułowane i udowodnione przez Augustina Cauchy’ego w 1825 rokuSzablon:Odn. Cauchy wyprowadził z niego szereg podstawowych własności funkcji analitycznych.

Mimo dużego znaczenia tej teorii w analizie zespolonej, Cauchy nie widział w niej nic wyjątkowegoSzablon:Odn. Dlatego praca z 1825 roku, nie była przez niego cytowana aż do roku 1851Szablon:Odn. Cytowanie swoich prac było jego częstym zabiegiemSzablon:Odn.

Twierdzenie to ma wiele nazw: twierdzenie Cauchy’ego o całce krzywoliniowej bądź twierdzenie całkowe Cauchy’ego, ale również twierdzenie Cauchy’ego-Goursata, czy nawet lemat Goursata (nie mylić z lematem Goursata w teorii grup).

Twierdzenie

Niech $D\subseteq ℂ$ będzie obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej $ℂ$ ograniczonym przedziałami gładką krzywą zamkniętą $C,$ ponadto $f:U\to ℂ$ oznacza funkcję analityczną na obszarze $U,$ dla którego $D\cup C\subseteq U.$ Wówczas

$\underset{C}{\oint }f(z)\mathrm{d}z=0.$

Wnioski

• Jeśli funkcja $f(z)$ jest analityczna w obszarze jednospójnym $D$ oraz $a,b\in D,$ to dla każdych kawałkami gładkich krzywych $C_1,C_2$ łączących $a$ z $b$ mamy

$\underset{C_1}{\int }f(z)dz=\underset{C_2}{\int }f(z)dz.$

Zatem możemy zdefiniować całkę

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(z)dz$

(tzn. nie zależy ona od drogi całkowania).

• Dla $D,f,a$ jak powyżej określmy funkcję $\mathrm{\Phi }:D⟶ℂ$ przez

$\mathrm{\Phi }(z)=\underset{a}{\overset{z}{\int }}f(\zeta )d\zeta .$

Wówczas funkcja $\mathrm{\Phi }$ jest analityczna oraz ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(z)=f(z).$

• Niech $f(z)$ będzie funkcją analityczną w obszarze jednospójnym $D$ z wyjątkiem punktów $z_1,z_2,\dots ,z_n$ oraz niech $C\subset D$ będzie kawałkami gładką krzywą Jordana otaczającą wszystkie punkty $z_1,z_2,\dots ,z_n$ (tzn. punkty te leżą we wnętrzu obszaru ograniczonego krzywą C). Wybierzmy liczbę dodatnią $r>0,$ taką że okręgi $K(z_i,r)$ o środku w $z_i$ i promieniu $r$ (dla $i=1,\dots ,n$) nie przecinają się i nie przecinają krzywej. Wówczas

$\underset{C^{+}}{\oint }f(z)dz=\sum _{i=1}^n\underset{K(z_i,r)}{\oint }f(z)dz.$

(Całki powyżej są po krzywych skierowanych dodatnio).

Zobacz też

• twierdzenie o residuach
• wzór całkowy Cauchy’ego

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki.
• Szablon:Cytuj książkę