Twierdzenie o residuach

Twierdzenie o residuach – twierdzenie analizy zespolonej dostarczające metody obliczania wartości całek krzywoliniowych – konkretniej całek okrężnych – funkcji meromorficznych. Uogólnia ono twierdzenie Cauchy’ego (orzekające, że całka po drodze zamkniętej z funkcji holomorficznej jest równa zeru). Twierdzenie o residuach umożliwia obliczenie niektórych złożonych całek rzeczywistych.

Twierdzenie

Ilustracja założeń twierdzenia

Niech $U$ będzie obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej $ℂ,$ a ponadto $a_1,\dots ,a_n\in U$ oraz $f:U\setminus \{a_1,\dots ,a_n\}⟶ℂ$ będzie funkcją holomorficzną.

Jeżeli $\gamma$ jest zamkniętą krzywą prostowalną zawartą w $U\setminus \{a_1,\dots ,a_n\},$ to

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{I}(\gamma ,a_k)\mathrm{Res}(f,a_k).$

Jeśli $\gamma$ jest krzywą Jordana, to $\mathrm{I}(\gamma ,a_k)=1$ więc

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}(f,a_k).$

Powyżej, $\mathrm{Res}(f,a_k)$ oznacza residuum funkcji f w $a_k,$ a $\mathrm{I}(\gamma ,a_k)$ to indeks punktu $a_k$ względem krzywej $\gamma .$

Zobacz też

• wzór całkowy Cauchy’ego

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki.