Twierdzenie o zbieżności średnich

Szablon:Dopracować Twierdzenie o zbieżności średnich – twierdzenie analizy matematycznej pozwalające stwierdzić zbieżność pewnych ciągów i wyznaczyć ich granice.

Twierdzenie

Jeśli ciąg $c_n$ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą), to granica ciągu średnich arytmetycznych $A_n=\frac{\sum _{k=1}^n{c}_k}{n}$ istnieje i jest jej równa.

Jeśli ponadto $c_n>0$ dla każdego n, to również ciągi średnich geometrycznych $G_n=\sqrt[n]{\prod _{k=1}^n|c_k|}$ i harmonicznych $H_n=\frac{n}{\sum _{k=1}^n\frac{1}{c_k}}$ mają tę samą granicę $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{H}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{G}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n.$

Dowód

Korzystając z twierdzenia Stolza dla ciągów $a_n=n$ i $b_n=\sum _{k=1}^n{c}_k,$ otrzymujemy:

• I. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{c_n}{1}\right)=g\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{\sum _{k=1}^n{c}_k}{n}\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{b_n}{a_n}\right)=g.$
• II. $\left(\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}\right)=\left(\frac{c_n}{1}\right)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\pm \mathrm{\infty }\Rightarrow \left(\frac{\sum _{k=1}^n{c}_k}{n}\right)=\left(\frac{b_n}{a_n}\right)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\pm \mathrm{\infty }.$

Dla średnich geometrycznych:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{\prod _{k=1}^n|c_k|}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\exp \frac{1}{n}\ln \prod _{k=1}^n|c_k|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\exp \frac{\sum _{k=1}^n\ln |c_k|}{n}=\exp \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sum _{k=1}^n\ln |c_k|}{n}=\exp \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\ln |c_n|=\exp \ln \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n.$

Czwarta równość wynika z udowodnionego wyżej twierdzenia, a pozostałe z własności funkcji wykładniczej i logarytmu, w szczególności ich ciągłości.

Dla średnich harmonicznych:

$\frac{n}{\sum _{k=1}^n\frac{1}{c_k}}=\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sum _{k=1}^n\frac{1}{c_k}}{n}}=\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{c_n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n.$

Druga równość wynika z twierdzenia dla średnich arytmetycznych.

Zastosowania

• Ciąg $\sqrt[n]{n!}$ jest rozbieżny do nieskończoności, bo n jest taki.
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{1\prod _{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{k}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n+1}{n}=1.$