Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym – w teorii prawdopodobieństwa, twierdzenie pozwalające na obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń, które mogą zajść w konsekwencji zajścia innych zdarzeń, takich jak doświadczenia wieloetapowe.

Twierdzenie

Niech $(\mathrm{\Omega },ℱ,𝖯)$ będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech

$\{H_i:i\in I\}\subset ℱ$

będzie rodziną zdarzeń o dodatnim prawdopodobieństwie, które tworzą rozbicie przestrzeni $\mathrm{\Omega },$ tj.

• $H_i\cap H_j=\varnothing (i,j\in I,i\ne j),$
• $\bigcup _{i\in I}{H}_i=\mathrm{\Omega },$
• $𝖯(H_i)>0(i\in I).$

Wówczas dla dowolnego zdarzenia $A\in ℱ$ zachodzi wzór

$𝖯(A)=\sum _{i\in I}𝖯(A\mid H_i)𝖯(H_i),$

przy czym $𝖯(A\mid H_i)$ oznacza prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia $A$ pod warunkiem zajścia $H_i.$

Uwaga. Ze skończoności miary $𝖯$ wynika, że rodzina $\{H_i:i\in I\}$ składa się z co najwyżej przeliczalnie wielu zbiorów. Zdarzenia $H_i$ nazywane są czasem hipotezamiSzablon:Odn.

Dowód

Korzystając z definicji prawdopodobieństwa warunkowego oraz właściwości samego prawdopodobieństwa, mamy

$𝖯(A)=𝖯(\bigcup _{i\in I}A\cap H_i)=\sum _{i\in I}𝖯(A\cap H_i)=\sum _{i\in I}𝖯(A\mid H_i)𝖯(H_i).$

Zastosowania

Typowym zastosowaniem jest sytuacja w której dane zdarzenie może zajść na kilka sposobów, przy czym każdy sposób realizuje się z określonym prawdopodobieństwem. Twierdzenie – zgodnie ze swą nazwą – pozwala obliczyć całkowite prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia.

Przykład

Żarówki pewnej marki są produkowane w dwóch fabrykach X i Y. Żarówki z fabryki X działają dłużej niż 5000 godzin w 99% przypadków, żarówki z fabryki Y tylko w 95% przypadków. Fabryka X dostarcza na rynek 60% żarówek tej marki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupiona losowo żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin?

Twierdzenie podaje odpowiedź:

$𝖯(A)=𝖯(A|B_1)\cdot 𝖯(B_1)+𝖯(A|B_2)\cdot 𝖯(B_2)=\frac{99}{100}\cdot \frac{6}{10}+\frac{95}{100}\cdot \frac{4}{10}=\frac{594+380}{1000}=\frac{974}{1000},$

gdzie:

• $𝖯(B_1)=\frac{6}{10}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie X;
• $𝖯(B_2)=\frac{4}{10}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie Y;
• $𝖯(A|B_1)=\frac{99}{100}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu X;
• $𝖯(A|B_2)=\frac{95}{100}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu Y.

Losowo zakupiona żarówka będzie działać dłużej niż 5000 godzin w 97,4% przypadków.

Twierdzenie o warunkowym prawdopodobieństwie całkowitym

Teza

Do założeń poprzedniego twierdzenia dodajmy zdarzenie $B\in ℱ$ dla którego $P(B)>0.$ Zachodzi wtedy wzórSzablon:Odn:

$𝖯(A|B)=\sum _{i\in I}𝖯(A|B\cap H_i)𝖯(H_i|B).$

Dowód

Można, jak w poprzednim przypadku, przekształcić prawą stronę, otrzymując w ten sposób lewą, lub też zauważyć, że

$𝖯(\cdot |B)={𝖯}_B(\cdot )$

jest miarą probabilistyczną, a zatem jest więc sens mówić o ${𝖯}_B(A|C),$ tj. prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia $A$ pod warunkiem zajścia zdarzenia $C,$ gdy wiemy, że zaszło zdarzenie $B.$ Zachodzi równośćSzablon:Odn:

${𝖯}_B(A|H)=\frac{{𝖯}_B(A\cap H)}{{𝖯}_B(H)}=\frac{𝖯(A\cap H\cap B)/𝖯(B)}{𝖯(H\cap B)/𝖯(B)}=𝖯(A|H\cap B).$

Twierdzenie to jest więc wzorem na prawdopodobieństwo całkowite dla prawdopodobieństwa ${𝖯}_B(\cdot ).$

Zobacz też

• wzór Bayesa

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę