Twierdzenie o granicy funkcji złożonej

Szablon:Dopracować Twierdzenie o granicy funkcji złożonej – twierdzenie analizy matematycznej pozwalające znaleźć granicę funkcji złożonych.

Założenia

• Dziedzina funkcji $f$ zawiera zbiór wartości funkcji $g$ w przedziale otwartym zawierającym $x_0.$
• Funkcja $g$ ma w $x_0$ granicę $y_0.$
• $y_0$ jest punktem skupienia dziedziny funkcji $f.$
• Funkcja $f$ ma w $y_0$ granicę $z.$
• W dowolnym (dowolnie małym) otoczeniu $x_0$ istnieją punkty, w których funkcja $g$ przyjmuje wartości różne od $y_0.$

Teza

Wówczas $\underset{x\to x_0}{\lim }f(g(x))$ istnieje i jest równa $z.$

Przykład na istotność ostatniego założenia:

$g(x)\equiv 1$

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{dla }x=1,\\ 0& \text{dla }x\ne 1.\end{array}$

Wówczas założenie nie jest spełnione i $\underset{x\to 0}{\lim }f(g(x))=1\ne 0=\underset{y\to 1}{\lim }f(y).$