Twierdzenie o bezwładności form kwadratowych

Twierdzenie o bezwładności form kwadratowych (zwane czasem twierdzeniem Sylvestera-Jacobiego) opisuje niezmienniczość liczby współczynników dodatnich i ujemnych formy kwadratowej ze względu na sprowadzanie jej do różnych postaci kanonicznych.

Twierdzenie

Jeśli sprowadza się rzeczywistą formę kwadratową do dwóch różnych postaci kanonicznych za pomocą nieosobliwych przekształceń rzeczywistych, to obie formy kanoniczne mają te same liczby współczynników dodatnich i współczynników ujemnych.

Przestrzenie ortogonalne

Twierdzenie o bezwładności form kwadratowych można wypowiedzieć w języku przestrzeni ortogonalnych.

Załóżmy, że $(V,\xi )$ jest przestrzenią ortogonalną nad ciałem liczb rzeczywistych oraz

$({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n),({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n)$

są dwiema bazami prostopadłymi przestrzeni $(V,\xi ).$ Wówczas,

$\begin{array}{ccc}{r}_{+}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)& =& r_{+}({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n)\\ r_{-}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)& =& r_{-}({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n)\\ r_0({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)& =& r_0({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n),\end{array}$

gdzie:

$\begin{array}{ccc}{r}_{+}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)& =& \mathrm{card}\{1⩽i⩽n:q_{\xi }({\alpha }_i)>0\}\\ r_{-}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)& =& \mathrm{card}\{1⩽i⩽n:q_{\xi }({\alpha }_i)<0\}\\ r_0({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)& =& \mathrm{card}\{1⩽i⩽n:q_{\xi }({\alpha }_i)=0\}\end{array}$

$q_{\xi }$ – forma kwadratowa funkcjonału dwuliniowego $\xi .$

Sygnatura funkcjonału

Liczbę

$s(\xi ):=r_{+}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)-r_{-}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$

nazywa się sygnaturą funkcjonału $\xi$ (bądź przestrzeni $V$ – oznacza się zwykle ją wówczas symbolem $s(V)$).

Zobacz też

• kryterium Sylvestera
• twierdzenie o oddzielaniu

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Law of inertia Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].