Twierdzenie Zsigmondy’ego

Twierdzenie Zsigmondy’ego Szablon:Fakt, twierdzenie w teorii liczb dostarczające informacji o dzielnikach pierwszych różnicy n-tych potęg względnie pierwszych liczb naturalnych. Twierdzenie to zostało udowodnione przez austro-węgierskiego matematyka Karla Zsigmondy’ego w 1892 roku.

Twierdzenie Zsigmondy’ego znajduje zastosowanie m.in. w teorii grup, gdzie jest wykorzystywane, by wykazać, że pewne grupy mają różny rząd.

Twierdzenie

Niech $a$ i $b$ będą względnie pierwszymi liczbami całkowitymi oraz $a>b⩾1.$ Wówczas dla każdej liczby całkowitej $n⩾1$ liczba $a^n-b^n$ ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy $p,$ który nie dzieli żadnej z liczb $a^k-b^k$ dla $n>k⩾1,$ chyba że ma miejsce jeden z poniższych wyjątków:

• $n=1$ oraz $a-b=1;$ wtedy liczba $a^n-b^n=1$ oczywiście nie ma żadnych dzielników pierwszych,
• $n=2$ oraz $a+b$ jest potęgą dwójki; wtedy liczby $a^2-b^2$ i $a-b$ są obie parzyste, ponadto każdy nieparzysty dzielnik pierwszy liczby $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ dzieli również $a-b,$
• $n=6,a=2,b=1;$ wówczas łatwo sprawdzić, że liczba $2^6-1=63=3^2\cdot 7$ nie ma nowych dzielników pierwszych, ponieważ $2^2-1=3$ oraz $2^3-1=7.$

Wersja z dodawaniem

Gdy $a,b\in \mathbb{Z}$ są różne i względnie pierwsze oraz $n⩾1$ jest dowolną liczbą całkowitą, to poza wyjątkiem $a=2,b=1,n=3$ liczba $a^n+b^n$ ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy $p,$ który nie dzieli żadnej z liczb $a^k+b^k$ dla $n>k⩾1.$

Powyższe twierdzenie jest prostym wnioskiem z twierdzenia Zsigmondy’ego.

Dowód

Przypadek $n=1$ jest trywialny.

Dla $n⩾2$ ustalmy liczby $a$ i $b,$ przy czym bez straty ogólności niech $a>b.$ Jeżeli nie zachodzi wspomniany wyjątek, to twierdzenie Zsigmondy’ego gwarantuje istnienie dzielnika pierwszego $p$ liczby $a^{2n}-b^{2n}$ takiego, że $p\nmid a^k-b^k$ dla $k<2n.$ Wówczas $p$ dzieli liczbę

$a^{2n}-b^{2n}=(a^n-b^n)(a^n+b^n),$

jednak nie dzieli $a^n-b^n.$ Stąd $p\mid a^n+b^n.$ Załóżmy teraz, że $p\mid a^k+b^k$ dla pewnego $k<n.$ Wówczas $p\mid a^{2k}-b^{2k},$ co wobec nierówności $2k<2n$ jest sprzeczne z definicją liczby $p.$ Zatem niemożliwe jest, by $p\mid a^k+b^k$ dla $k<n.$ To kończy dowód.

Zobacz też

• lemat o zwiększaniu wykładnika p-adycznego
• liczby Mersenne’a
• wielomian cyklotomiczny