Twierdzenie Winogradowa

Twierdzenie Winogradowa to wynik z zakresu analitycznej teorii liczb odpowiadający na pytanie, na ile sposobów każdą dostatecznie dużą liczbę nieparzystą można przedstawić jako sumę trzech liczb pierwszych. Prostym wnioskiem płynącym z twierdzenia jest fakt, że każda dostatecznie duża liczba nieparzysta spełnia słabą hipotezę Goldbacha.

Treść twierdzenia oraz dowód zostały sformułowane po raz pierwszy przez Iwana Winogradowa w 1937 r. Hardy i Littlewood udowodnili wcześniej, że twierdzenie jest wnioskiem z uogólnionej hipotezy Riemanna, Winogradow wykazał je bezwarunkowo.

Treść twierdzenia

Niech $A>0$ będzie pewną stałą. Zdefiniujmy

$r(N)=\sum _{k_1+k_2+k_3=N}\mathrm{\Lambda }(k_1)\mathrm{\Lambda }(k_2)\mathrm{\Lambda }(k_3),$

gdzie $\mathrm{\Lambda }$ oznacza funkcję von Mangoldta. To znaczy, że $r(N)$ sumuje liczbę sposobów przedstawienia $N$ jako sumy trzech potęg liczb pierwszych o wykładnikach $⩾1,$ zmodyfikowanych o pewne wagi (wynikające z postaci funkcji $\mathrm{\Lambda }$). Wówczas

$r(N)=\frac{1}{2}G(N)N^2+O\left(\frac{N^2}{(\log n{)}^A}\right),$

gdzie $O$ oznacza notację dużego O, przy czym funkcja $G$ może być przedstawiona w postaci iloczynu Eulera

$G(N)=\left(\prod _{p|N}(1-\frac{1}{(p-1{)}^2})\right)\left(\prod _{p\mid ̸N}(1+\frac{1}{(p-1{)}^3})\right).$

Wniosek

Ponieważ wartości $|G(N)|$ dla $N$ nieparzystych są ograniczone przez stałą, $r(N)>0$ dla dostatecznie dużych nieparzystych $N.$ Pokazując, że część $r(N),$ w której sumujemy po potęgach liczb pierwszych o wykładnikach $>1$ jest rzędu $O(N^{\frac{3}{2}}(\log N{)}^2),$ możemy wykazać, że

$\frac{N^2}{(\log N{)}^3}\ll |\{(p_1,p_2,p_3):N=p_1+p_2+p_3,p_1,p_2,p_3\in \mathbb{P}\}|,$

gdzie $\ll$ oznacza notację Winogradowa. W efekcie wnioskiem płynącym z twierdzenia Winogradowa jest słabsza wersja słabej hipotezy Goldbacha.

Strategia dowodu

Winogradow swój dowód oparł przede wszystkim na metodzie łuków Hardy’ego-Littlewooda. Jednakże w odróżnieniu od szeregu potęgowego zastosowanego pierwotnie przez matematyków w kontekście problemu Waringa, Winogradow rozważa skończoną sumę eksponencjalną

$S(\alpha )=\sum _{k⩽N}\mathrm{\Lambda }(k)e(k\alpha ),$

gdzie $e(x):=e^{2\pi ix},$ $\mathrm{\Lambda }$ jest jak wyżej, a $N$ jest pewną ustaloną stałą. Ponieważ interesują nas sumy postaci $\sum \mathrm{\Lambda }(k_1)\mathrm{\Lambda }(k_2)\mathrm{\Lambda }(k_3),$ podnosimy sumę do potęgi trzeciej,

$S(\alpha {)}^3=\sum _{n⩽3N}(\sum _{\begin{array}{c}{k}_1+k_2+k_3=n\\ k_1,k_2,k_3⩽N\end{array}}\mathrm{\Lambda }(k_1)\mathrm{\Lambda }(k_2)\mathrm{\Lambda }(k_3))e(n\alpha ).$

Oznaczając powyższe współczynniki przez $r(n,N),$ widzimy, że $r(n,N)=r(n)$ dla $n⩽N.$ Wystarczy zatem, że podamy oszacowanie na $r(n,N).$

Skoro $S(\alpha {)}^3$ jest sumą trygonometryczną, jej współczynniki możemy wyrazić za pomocą całki

$r(n,N)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}S(\alpha {)}^{3}e(-n\alpha )d\alpha .$

Stosując wspomnianą metodę łuków, przedział $[0,1]$ dzielimy na duże łuki (zbiory liczb o dobrych przybliżeniach wymiernych) i mniejsze łuki (pozostałe). Jako $B>0$ wybieramy pewną stałą, oznaczamy $P=(\log n{)}^B$ i $Q=\frac{n}{P^2}.$ Dla liczb $(a,q)=1$ definiujmy

$M(a,q)=\{\alpha \in [0,1]:|\alpha -\frac{a}{q}|⩽\frac{1}{Q}\}$

oraz

$M=\bigcup _{\begin{array}{c}(a,q)=1\\ q⩽Q\end{array}}M(a,q)$

– zbiór ten nazywamy zbiorem dużych łuków. Zbiór $m=[0,1]\setminus M$ nazywamy zbiorem mniejszych łuków. Stosując podział

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}S(\alpha {)}^{3}e(-n\alpha )d\alpha =\underset{M}{\int }S(\alpha {)}^{3}e(-n\alpha )d\alpha +\underset{m}{\int }S(\alpha {)}^{3}e(-n\alpha )d\alpha$

możemy ostatecznie uzyskać postulowaną zależność dla $r(n,N).$ Konkretnie, stosując m.in. twierdzenie Siegela-Walfisza, sumy Gaussa i sumy Ramanujana możemy uzyskać

$\underset{M}{\int }S(\alpha {)}^{3}e(-N\alpha )d\alpha =\frac{1}{2}G(N)N^2+O\left(\frac{N^2}{(\log N{)}^{B-1}}\right),$

gdzie $G(N)$ jest jak wyżej, oraz

$\underset{m}{\int }S(\alpha {)}^{3}e(-N\alpha )d\alpha =O\left(\frac{N^2}{(\log N{)}^{\frac{B}{9}-6}}\right).$

W połączeniu, z obu powyższych zależności wynika treść twierdzenia.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Vinogradov-Goldbach theorem Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].