Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym

Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym mówi, że każde ciągłe przekształcenie niepustego, wypukłego i zwartego podzbioru przestrzeni Banacha w siebie ma punkt stały.

Innymi słowy: każdy niepusty, wypukły i zwarty podzbiór przestrzeni Banacha ma (topologiczną) własność punktu stałego.

Twierdzenie zostało udowodnione w 1930 roku przez polskiego matematyka Juliusza Schaudera.

Dowód twierdzenia

Załóżmy, że $K$ jest niepustym, wypukłym i zwartym podzbiorem przestrzeni Banacha i przekształcenie $f:K\to K$ jest ciągłe. Ponieważ zbiór $K$ jest zwarty, to dla każdego $\epsilon >0$ istnieje skończona $\epsilon$ -sieć: $\{p_1,p_2,\dots ,p_k\}\subset K.$ Dla każdego $i\in \{1,2,\dots ,k\}$ zdefiniujmy funkcję

$d_i(x)=\{\begin{array}{cc}\epsilon -\Vert x-p_i\Vert ,& \mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{a}\Vert x-p_i\Vert ⩽\epsilon ,\\ 0,& \mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{a}\Vert x-p_i\Vert >\epsilon ,\end{array}$

i zauważmy, że jest ona ciągła. Przyjmijmy, że $\tilde{K}=K\cap \mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}\{p_1,p_2,\dots ,p_k\},$ gdzie $\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}X$ oznacza otoczkę afiniczną zbioru $X,$ i zdefiniujmy funkcję $\phi :K\to \tilde{K}$ wzorem

$\phi (x)=\frac{\sum _{i=1}^k{p}_i{d}_i(x)}{\sum _{i=1}^k{d}_i(x)},x\in K.$

Jest to funkcja ciągła, a zatem również funkcja $\tilde{f}:\tilde{K}\to \tilde{K},$ określona wzorem $\tilde{f}(x)=\phi (f(x)),$ jest ciągła. Zbiór $\tilde{K}$ jest wypukły i zwarty oraz jest zawarty w podprzestrzeni $\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\{p_1,p_2,\dots ,p_k\}$ o skończonym wymiarze, więc korzystając z odpowiedniej wersji twierdzenia Brouwera o punkcie stałym stwierdzamy, że istnieje taki punkt $x_{\epsilon }\in \tilde{K},$ że $\tilde{f}(x_{\epsilon })=x_{\epsilon }.$ Ponieważ

$\Vert x_{\epsilon }-f(x_{\epsilon })\Vert ⩽\Vert x_{\epsilon }-\tilde{f}(x_{\epsilon })\Vert +\Vert \tilde{f}(x_{\epsilon })-f(x_{\epsilon })\Vert ,$

to

$\Vert x_{\epsilon }-f(x_{\epsilon })\Vert ⩽\Vert \phi (f(x_{\epsilon }))-f(x_{\epsilon })\Vert ⩽\epsilon ,$

gdyż dla każdego $x\in K$ mamy $\Vert \phi (x)-x\Vert ⩽\epsilon .$

Zatem $\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\Vert x_{\epsilon }-f(x_{\epsilon })\Vert =0.$ Ze zwartości zbioru $K$ wynika, że granica $\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{x}_{\epsilon }$ jest elementem zbioru $K,$ a z ciągłości funkcji $f$ – to, że jest ona punktem stałym funkcji $f.$

Uogólnienia

Prawdziwe są również następujące ogólniejsze twierdzenia, również nazywane twierdzeniami Schaudera:

• Załóżmy, że $K$ jest niepustym, domkniętym, wypukłym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha, funkcja $f:K\to K$ jest ciągła i $\overline{f(K)}$ jest zbiorem zwartym. Wtedy $f$ ma punkt stały w zbiorze $K.$

Zamiast wypukłości wystarczy założyć o $K,$ że jest absolutnym retraktem Borsuka (AR).

• (Twierdzenie Schaudera-Tichonowa) Załóżmy, że $K$ jest niepustym, wypukłym i zwartym podzbiorem lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej i funkcja $f:K\to K$ jest ciągła. Wtedy $f$ ma punkt stały w zbiorze $K.$ Można odstąpić od założenia lokalnej wypukłości jak pokazał francuski matematyk Cauty (artykuł w Fundamenta Mathematicae).

• (Twierdzenie Darbo, 1950) Niech $K$ będzie niepustym, domkniętym, wypukłym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha, zaś $f:K\to K$ będzie kontrakcją względem odpowiedniej miary niezwartości $\psi$ (np. Kuratowskiego, Hausdorffa), tzn. $\psi (f(A))⩽k\cdot \psi (A)$ przy $A\subseteq K$ dla pewnej stałej $k<1.$ Wówczas $f$ posiada punkt stały. Odnotujmy, że kontrakcje Banacha są zwężające zarówno względem miary niezwartości Kuratowskiego, jak i Hausdorffa; tym samym w klasie przestrzeni Banacha twierdzenie Darbo stanowi wspólne uogólnienie twierdzeń Schaudera i Banacha o punkcie stałym. Dalsze uogólnienia sformułowali m.in. Nussbaum i Sadovskii (teoria stopnia Leray-Schaudera dla przekształceń kondensujących).

Zastosowania

Twierdzenia Schaudera stosuje się na przykład do dowodzenia twierdzeń:

• o istnieniu rozwiązań równań różniczkowych.

Zobacz też

• Twierdzenie Banacha o kontrakcji
• Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym
• Twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym