Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych

Przykład zbioru wypukłego (kolor turkusowy) w ${ℝ}^2,$ który spełnia założenia twierdzenia Minkowskiego.

Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych – twierdzenie geometrii wypukłej mówiące, że każdy zbiór wypukły $C$ w przestrzeni euklidesowej ${ℝ}^d,$ który jest symetryczny względem zera oraz którego objętość $d$-wymiarowa jest większa niż $2^d,$ zawiera niezerowy punkt kratowy, tj. taki punkt kratowy, którego przynajmniej jedna ze współrzędnych jest niezerową liczbą całkowitąSzablon:Odn. Twierdzenie udowodnione przez niemieckiego matematyka, Hermanna Minkowskiego. Rozszerzeniem twierdzenia Minkowskiego jest twierdzenie BlichfeldtaSzablon:Odn.

Wersja twierdzenia dla ogólniejszych krat w przestrzeni euklidesowej

Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych ma ogólniejszą formę dotyczącą bardziej ogólnych podkrat przestrzeni euklidesowej.

Niech $f_1,\dots ,f_d$ będą liniowo niezależnymi wektorami w ${ℝ}^d.$ Zbiór

$\mathrm{\Gamma }=\mathbb{Z}{f}_1+\dots +\mathbb{Z}{f}_d$

nazywany jest kratą generowaną przez $f_1,\dots ,f_d.$ Niech $G_{\mathrm{\Gamma }}$ będzie równoległościanem generowanym przez $f_1,\dots ,f_d.$ Twierdzenie Minkowskiego można sformułować dla kraty $\mathrm{\Gamma }.$

Niech $C$ będzie zbiorem wypukłym w ${ℝ}^d,$ który jest symetryczny względem 0 oraz niech $\mathrm{\Gamma }$ będzie kratą w ${ℝ}^d.$ Jeżeli

${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_{d}C>2^d\cdot {\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_d{G}_{\mathrm{\Gamma }},$

to $C$ zawiera punkt należący do $\mathrm{\Gamma }$ różny od 0, tj.

$C\cap (\mathrm{\Gamma }\setminus \{0\})\ne \varnothing$Szablon:Odn.

Uwagi

• W przypadku, gdy zbiór $C$ jest również zwarty, twierdzenie Minkowskiego zachodzi pod słabszym założeniem:

${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_{d}C⩾2^d\cdot {\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_d{G}_{\mathrm{\Gamma }},$

jednak w ogólności, założenia tego nie można pominąćSzablon:Odn. Istotnie, niech $C$ będzie kwadratem bez brzegu na płaszczyźnie o wierzchołkach $(1,1),(-1,1),(1,-1),(-1,-1).$ Wówczas pole powierzchni (objętość 2-wymiarowa) zbioru $C$ wynosi $2^2,$ jednak $C$ nie zawiera punktów kratowych innych niż $(0,0)$Szablon:Odn.

• Objętość $d$-wymiarowa ${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_d{G}_{\mathrm{\Gamma }}$ wynosi $|\det [f_1,\dots ,f_d]|,$ tj. równa jest wartości bezwzględnej wyznacznika macierzy, której kolumnami są wektory $f_1,\dots ,f_d.$

Dowód

Najpierw wykażemy, że wśród zbiorów postaci

$\frac{1}{2}\cdot C+\gamma (\gamma \in \mathrm{\Gamma }),$

pewne dwa mają niepustą część wspólną.

W tym celu przypuśćmy, że jest przeciwnie tj. że są ona parami rozłączne. Wówczas również zbiory

$G_{\mathrm{\Gamma }}\cap (\frac{1}{2}\cdot C+\gamma )(\gamma \in \mathrm{\Gamma })$

byłyby parami rozłączne, a więc z σ-addytywności miary zachodziłaby nierówność

${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_d(G_{\mathrm{\Gamma }})⩾\sum _{\gamma \in \mathrm{\Gamma }}{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_d(G_{\mathrm{\Gamma }}\cap (\frac{1}{2}\cdot C+\gamma )).$

Mamy jednak

$(G_{\mathrm{\Gamma }}-\gamma )\cap \frac{1}{2}\cdot C=[G_{\mathrm{\Gamma }}\cap (\frac{1}{2}\cdot C+\gamma )]-\gamma ,$

a więc

${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_d(G_{\mathrm{\Gamma }}\cap (\frac{1}{2}\cdot C+\gamma ))={\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_d((G_{\mathrm{\Gamma }}-\gamma )\cap \frac{1}{2}\cdot C).$

Rodzina

$G_{\mathrm{\Gamma }}-\gamma (\gamma \in \mathrm{\Gamma })$

jest pokryciem całej przestrzeni ${ℝ}^d,$ a więc w szczególności zbioru $1/2C.$ Ostatecznie,

${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_d{G}_{\mathrm{\Gamma }}⩾\sum _{\gamma \in \mathrm{\Gamma }}{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_d((G_{\mathrm{\Gamma }}-\gamma )\cap \frac{1}{2}\cdot C)={\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_d(\frac{1}{2}\cdot C)=\frac{1}{2^d}{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_{d}C,$

co prowadzi do sprzeczności z założeniem twierdzenia.

Stąd dla pewnych dwóch różnych punktów ${\gamma }_1,{\gamma }_2\in \mathrm{\Gamma }$ zbiory

$\frac{1}{2}\cdot C+{\gamma }_1,\frac{1}{2}\cdot C+{\gamma }_2,$

mają niepusty przekrój i niech

$z\in (\frac{1}{2}\cdot C+{\gamma }_1)\cap (\frac{1}{2}\cdot C+{\gamma }_2).$

To oznacza, że

$z=\frac{1}{2}{x}_1+{\gamma }_1=\frac{1}{2}{x}_2+{\gamma }_2,$

dla pewnych $x_1,x_2\in C.$ Odejmując stronami, dostaniemy

${\gamma }_1-{\gamma }_2=\frac{1}{2}{x}_2-\frac{1}{2}{x}_1\in C,$

przy czym relacja należenia wynika z wypukłości i symetrii względem 0 zbioru $C.$ Szukanym punktem kratowym zbioru $C$ jest

$\gamma ={\gamma }_1-{\gamma }_2\in C$Szablon:Odn.

Dowód w oparciu o twierdzenie Blichfeldta

Szablon:Zobacz też Objętość $d$-wymarowa zbioru $1/2C$ wynosi $2^{-d}{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_{d}C,$ a więc z założenia

${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_d(\frac{1}{2}\cdot C)=2^{-d}{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_{d}C>2^{-d}\cdot 2^d\cdot {\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_d{G}_{\mathrm{\Gamma }}={\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_d{G}_{\mathrm{\Gamma }},$

a zatem twierdzenie Blichfeldta stosuje się do $1/2C.$ Istnieją zatem takie dwa różne punkty $x,y\in C,$ że

$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y\in \mathrm{\Gamma }\setminus \{0\}.$

Ponieważ zbiór $C$ jest symetryczny względem 0, element $-y$ należy do $C.$ Z wypukłości zbioru $C$

$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}(-y)\in (\mathrm{\Gamma }\setminus \{0\})\cap C$Szablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę