Twierdzenie Dulaca-Bendixona

Zgodnie z twierdzeniem Dulaca każdy dwuwymiarowy autonomiczny układ dynamiczny który ma periodyczną orbitę posiada obszar zarówno o dodatniej, jak i ujemnej dywergencji wewnątrz takiej orbity (tutaj odpowiednio czerwone i zielone obszary)

Twierdzenie Dulaca-Benidxona dla układów dynamicznych głosi, że jeśli istnieje funkcja $\phi (x,y)$ (zwana funkcją Dulaka) taka że:

$\frac{\partial (\phi f)}{\partial x}+\frac{\partial (\phi g)}{\partial y}⩾0,$

a równość zachodzi jedynie na podzbiorze miary zero w jednospójnej przestrzeni fazowej, to wtedy autonomiczny układ dynamiczny

$\frac{dx}{dt}=f(x,y),$

$\frac{dy}{dt}=g(x,y)$

nie ma okresowych rozwiązań, które nie są punktami stałymi, w całości leżącymi wewnątrz obszaru.

Twierdzenie zostało po raz pierwszy sformułowane przez szwedzkiego matematyka Ivara Bendixona w 1901 roku i później udoskonalone przez Henriego Dulaca w 1923 roku, przy użyciu twierdzenia Greena.

Dowód

Niech $\phi (x,y)$ będzie funkcja taką, że w jednospójnym obszarze $R$ zachodzi

$\frac{\partial (\phi f)}{\partial x}+\frac{\partial (\phi g)}{\partial y}⩾0$

oraz że równość zachodzi na zbiorze miary zero. Niech $C$ będzie zamkniętą trajektorią wewnątrz $R,$ a $D$ wnętrzem $R.$ Korzystając z twierdzenia Greena otrzymujemy

$\begin{array}{cc}\underset{D}{\iint }(\frac{\partial (\phi f)}{\partial x}+\frac{\partial (\phi g)}{\partial y})dxdy& ={\oint }_C(-\phi gdx+\phi fdy)\\ & ={\oint }_C\phi (-\dot{y}dx+\dot{x}dy).\end{array}$

Ale na zachodzi $C,$ $dx=\dot{x}dt$ oraz $dy=\dot{y}dt$ zatem całka musi być równa 0. Otrzymujemy sprzeczność. Nie istnieje taka zamknięta trajektoria $C.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę