Twierdzenie Brouwera o zachowaniu otwartości

Twierdzenie Brouwera o zachowaniu otwartości – twierdzenie topologii sformułowane i udowodnione w 1912 przez Jana Brouwera^[1]. Mówi ono, że podzbiór przestrzeni euklidesowej homeomorficzny z podzbiorem otwartym tej przestrzeni jest jej podzbiorem otwartym.

Brouwer użył w dowodzie wprowadzonych przez siebie metod topologii algebraicznej, a w szczególności twierdzenia Brouwera o punkcie stałym.

Twierdzenie to bywa również nazywane twierdzeniem o niezmienniczości obszaru (ang. Invariance of Domain).

Inne sformułowanie

Twierdzenie to można również wypowiedzieć w następujący sposób:

Jeżeli funkcja

h : U \to ℝ^{n}

U \subset ℝ^{n}

na zbiór

V = h (U),

to zbiór

V

jest otwarty w

ℝ^{n} .

Przestrzenie euklidesowe różniące się wymiarami nie są homeomorficzne. Rzeczywiście, gdyby bowiem istniał homeomorfizm $h : ℝ^{n} \to ℝ^{m}, m \neq n$ (możemy założyć, że $m < n$ ), a $i : ℝ^{m} ↪ ℝ^{n}$ było naturalnym odwzorowaniem włożenia, to złożenie $i h : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ byłoby homeomorfizmem, a więc w szczególności przeprowadzałoby całą przestrzeń $ℝ^{n}$ na podzbiór otwarty zawarty w $i (ℝ^{m}) .$ Jedynym otwartym podzbiorem $i (ℝ^{m})$ jest zbiór pusty, a zatem z otrzymanej sprzeczności wnosimy, że musi być $m = n .$
Nie istnieją odwzorowania ciągłe wzajemnie jednoznaczne przestrzeni euklidesowej na przestrzenie euklidesowe różniące się od niej wymiarem.

Twierdzenie Brouwera pozostaje prawdziwe jeśli przestrzenie euklidesowe zamienimy na rozmaitości. Mianowicie, jeśli $M$ i $N$ są $n$ -wymiarowymi rozmaitościami bez brzegu, a odwzorowanie $h : M \to N$ jest ciągłe i lokalnie różnowartościowe, to jest ono również otwarte.
W pewnych przestrzeniach twierdzenie Brouwera przestaje być prawdziwe. Najprostszym przykładem może być przestrzeń Hilberta $ℓ^{2}$ oraz odwzorowanie $h : ℓ^{2} \to ℓ^{2},$ takie że $h (x_{1}, x_{2}, \dots) = (0, x_{1}, x_{2}, \dots) .$ Jest ono ciągłe i różnowartościowe, a przeprowadza przestrzeń $ℓ^{2}$ na zbiór o pustym wnętrzu.

↑ Brouwer L. Zur Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 72 (1912), s. 55–56.