Twierdzenie Besicovitcha o pokryciu

Twierdzenie Besicovitcha o pokryciu – jedno z dwóch podstawowych twierdzeń o pokryciu noszące nazwisko Abrama Besicovitcha, uogólnienie twierdzenia Vitalego na ogólniejsze miary Radona na przestrzeniach euklidesowych; z geometrycznego punktu widzenia twierdzenie Vitalego daje pokrycie kulami powiększonymi w stosunku do wyjściowych, z kolei twierdzenie Besicovitcha wykorzystuje kule pokrycia wyjściowego kosztem pewnego kontrolowanego nakładania się kul.

Zasadniczym zastosowaniem twierdzenia jest wykorzystanie w dowodzie twierdzenia Lebesgue’a-Besicovitcha o różniczkowaniu miar (dzięki możliwości „wypełnienia” dowolnego zbioru otwartego przeliczalną rodziną kul (parami) rozłącznych w taki sposób, że pozostała niewypełniona część jest miary zero), a dzięki temu twierdzenia Lebesgue’a o punktach gęstości dla miar Radona.

Twierdzenie

Istnieje stała $N_n$ zależąca wyłącznie od wymiaru przestrzeni ${ℝ}^n$ o następującej własności:

jeśli $ℱ$ jest dowolną rodziną niezdegenerowanych kul domkniętych w ${ℝ}^n,$ dla których

$\sup \{\mathrm{diam}B:B\in ℱ\}<+\mathrm{\infty },$

i jeżeli $A$ jest zbiorem środków kul w $ℱ,$ to istnieje $N_n$ przeliczalnych rodzin ${𝒢}_1,\dots ,{𝒢}_{N_n}$ kul (parami) rozłącznych w $ℱ,$ dla których

$A\subseteq \bigcup _{i=1}^{N_n}\bigcup _{B\in {𝒢}_i}B.$

Literatura

• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo