Twierdzenie Vitalego o pokryciu

Twierdzenie Vitalego o pokryciu – noszące nazwisko Giuseppe Vitalego jedno z dwóch podstawowych twierdzeń o pokryciu (obok twierdzenia Besicovitcha) pomocne przy badaniu własności miary Lebesgue’a na przestrzeniach euklidesowych; z geometrycznego punktu widzenia daje pokrycie kulami powiększonymi w stosunku do wyjściowych, dzięki czemu jest z nich łatwiejsze w zrozumieniu i zastosowaniu.

Twierdzenie umożliwia mierzenie i teoretyczne „wypełnienie” dowolnego zbioru otwartego przeliczalnie wieloma rozłącznymi kulami domkniętymi o ograniczonym promieniu (z wykorzystaniem miary Lebesgue’a, twierdzenie Besicovitcha umożliwia podobną operację dla ogólniejszych miar Radona); jest także pomocne jako środek dowodowy dla nierówności dla operatora Hardy’ego-Littlewooda.

Sformułowanie „(pod)rodzina kul rozłącznych” oznacza, że rozłączne są dowolne dwie kule w danej (pod)rodzinie; innymi słowy rozpatrywane kule są zbiorami parami rozłącznymi.

Twierdzenie

Na górze: rodzina kul; zielone kule tworzą rozłączną podrodzinę.
Na dole: podrodzina kul o trzykrotnie większych promieniach pokrywa wszystkie kule.

Szablon:Zobacz też Niech $B=B(x,r)$ oznacza kulę domkniętą w ${ℝ}^n,$ zaś $\hat{B}=B(x,5r)$ oznacza współśrodkową kulę domkniętą o promieniu pięciokrotnie większym od promienia $B.$ Rodzinę $ℱ$ kul domkniętych w ${ℝ}^n$ nazywa się pokryciem zbioru $A\subseteq R^n,$ jeżeli

$A\subseteq \bigcup _{B\in ℱ}B.$

Teza

Niech $ℱ$ oznacza dowolną rodzinę niezdegenerowanych kul domkniętych w ${ℝ}^n,$ przy czym

$\sup \{\mathrm{diam}B:B\in ℱ\}<+\mathrm{\infty }.$

Wówczas istnieje rodzina przeliczalna $𝒢$ rozłącznych kul w $ℱ,$ dla której

$\bigcup _{B\in ℱ}B\subseteq \bigcup _{B\in 𝒢}\hat{B}.$

Dowód

Oznaczenia

Niech $D:=\sup \{\mathrm{diam}B:B\in ℱ\}.$ Ponadto

${ℱ}_j:=\{B\in ℱ:\frac{D}{2^j}<\mathrm{diam}B⩽\frac{D}{2^{j-1}}\}(j=1,2,\dots ).$

Zbiór ${𝒢}_j\subseteq {ℱ}_j$ będzie określony indukcyjnie jak następuje:

• niech ${𝒢}_1$ będzie maksymalną rodziną rozłączną kul w ${ℱ}_1;$
• zakładając, że ${𝒢}_1,\dots ,{𝒢}_{k-1}$ są już wskazane, rodzina ${𝒢}_k$ będzie dana jako dowolna maksymalna podrodzina rozłączna

  $\{B\in {ℱ}_k:B\cap B^{\prime }=\varnothing \text{dla wszystkich}{B}^{\prime }\in {\bigcup }_{j=1}^{k-1}{𝒢}_j\}.$

Wreszcie

$𝒢:={\bigcup }_{j=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_j,$

przy czym jest ona rodziną kul rozłącznych oraz $𝒢\subseteq ℱ.$

Przy podanych definicjach wystarczy wykazać następujące

Stwierdzenie

Dla każdej kuli $B\in ℱ$ istnieje kula $B^{\prime }\in ℱ,$ dla której $B\cap B^{\prime }=\varnothing$ oraz $B\subseteq \widehat{B^{\prime }}.$

Dowód

Niech $B\in ℱ$ będzie ustalony. Istnieje wtedy wskaźnik $j,$ dla którego $B\in {ℱ}_j.$ Z maksymalności ${𝒢}_j$ istnieje kula $B^{\prime }\in {\bigcup }_{k=1}^j{𝒢}_k,$ dla której $B\cap B^{\prime }=\varnothing .$ Jednakże $\mathrm{diam}{B}^{\prime }⩾\frac{D}{2^j}$ oraz $\mathrm{diam}B⩽\frac{D}{2^{j-1}};$ stąd zaś $\mathrm{diam}B⩽2\mathrm{diam}{B}^{\prime }.$ Zatem $B\subseteq \widehat{B^{\prime }}.$

Uwagi

• Stała $5$ w definicji $\hat{B}$ nie jest optymalna. Jeśli przy definiowaniu $ℱ$ zamiast $2^{-j}$ użyto by $c^{-j},$ dla $c>1,$ to wartość $5$ można by zastąpić przez $1+2c.$ Każda stała ściśle większa od $3$ daje poprawne sformułowanie twierdzenia.
• W najogólniejszym przypadku przestrzeni metrycznych wybór maksymalnej podrodziny rozłącznej wymaga lematu Kuratowskiego-Zorna.
• Nie istnieje systematyczny sposób kontrolowania $\mu (\hat{B})$ za pomocą $\mu (B)$ w przypadku, gdy $\mu$ jest ogólną miarą Radona na ${ℝ}^n.$ Przez to twierdzenie Vitalego o pokryciu nie jest aż tak pomocne przy badaniu tego rodzaju miar; twierdzenie Besicovitcha jest twierdzeniem o pokryciu, które nie wymaga powiększania kul za cenę ich rozłączności (przy zachowaniu kontroli nad stopniem ich nakładania).
• Założenie o ograniczeniu średnicy (promienia) kuli jest niezbędne: w przypadku rodziny wszystkich kul o środku w początku ${ℝ}^n$ dowolna rozłączna podrodzina składa się wyłącznie z jednej kuli $B,$ jednakże $\hat{B}$ nie zawiera wszystkich kul tej rodziny.

Literatura

• Szablon:Cytuj pismo („O grupach punktów i o funkcjach zmiennych rzeczywistych”, zawiera pierwszy dowód twierdzenia Vitalego o pokryciu).

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Vitali theorem Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].