Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości

Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące, że prawie każdy punkt mierzalnego podzbioru przestrzeni euklidesowej jest jego punktem gęstości. „Prawie” oznacza tu, że punkty niebędące punktami gęstości mogą istnieć, ale tworzą zbiór o mierze zero.

W klasycznym przypadku miary Lebesgue’a dowód twierdzenia Lebesgue’a wykorzystuje twierdzenie Vitalego o pokryciu, w przypadku ogólniejszych miar Radona wykorzystuje się stosowne dla nich uogólnienie wspomnianego twierdzenia: twierdzenie Bezikowicza o pokryciu.

Oznaczenia i pojęcia wstępne

Niech $Z$ będzie sumą niepustej rodziny przedziałów N-wymiarowych (z twierdzenia Vitalego wynika, że jest on zbiorem mierzalnym). Niech $F$ będzie funkcją określoną na rodzinie wszystkich kostek N-wymiarowych zawartych w zbiorze $Z$ i przyjmującą wartości w zbiorze $\overline{ℝ}$ oraz punkt $x_{0} \in Z .$ Niech dany będzie również zbiór

W = {y \in \overline{ℝ} : y = \lim_{n \to \infty} F (Q_{n}), (Q_{n})_{n \in ℕ}},

gdzie $(Q_{n})_{n \in ℕ}$ jest pewnym ciągiem kostek zawartych w zbiorze $Z$ takich, że $x \in Q_{n} n \in ℕ$ oraz

\lim_{n \to \infty} d (Q_{n}) = 0 .

Zbiór ten jest niepustym i domkniętym podzbiorem przestrzeni $\overline{ℝ} .$

Kres dolny i górny zbioru $W$ oznaczamy odpowiednio

\underset{Q \to x_{0}}{lim inf} F (Q)

oraz

\underset{Q \to x_{0}}{lim sup} F (Q) .

Ponadto gdy są one równe (co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $W$ jest jednoelementowy), to piszemy wówczas

\lim_{Q \to x_{0}} F (Q) .

Punkty gęstości

Punkt $x \in ℝ^{N}$ nazywamy punktem gęstości (mierzalnego) podzbioru $E \subseteq ℝ^{N}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

\lim_{Q \to x} \frac{l_{N} (E \cap Q)}{l_{N} (Q)} = 1,

gdzie $l_{N}$ oznacza N-wymiarową miarę Lebesgue’a.