Twierdzenie Berry-Essena

Twierdzenie Berry’ego-Esseena – twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa, które daje pewne oszacowanie szybkości zbieżności w centralnym twierdzeniu granicznym.

Motywacja

Centralne twierdzenie graniczne (w wersji dla niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie) mówi w istocie, że

$𝖯(\frac{X_1+X_2+\dots +X_n}{\sigma \sqrt{n}}⩽t)\to \varphi (t)$

gdy $n\to \mathrm{\infty }.$ Naturalnym jest pytanie o odległość tych dwóch funkcji w normie supremum i badanie jak maleje ona wraz z $n.$ Całkiem satysfakcjonującą odpowiedź na nie daje nierówność Berry’ego-Esseena: jedynym dodatkowym wymaganiem jest skończoność trzeciego momentu modułu zmiennej.

Twierdzenie

Niech $X_1,X_2,\dots X_n$ będą takimi niezależnymi zmiennymi losowymi określonymi na wspólnej przestrzeni probabilistycznej, że

• $𝖤X_i=0,$
• $\sum _{i=1}^n𝖵𝖺𝗋(X_i)=1,$
• $𝖤|X_i{|}^3<\mathrm{\infty }$ dla każdego $i⩽n.$

Wówczas istnieje taka stała $L⩾0,$ że

$\underset{t}{\sup }|𝖯(\sum _{i=1}^n{X}_i⩽t)-\varphi (t)|⩽L\cdot \sum _{i=1}^n𝖤|X_i{|}^3.$

Wniosek

Jako wniosek można przedstawić nieco inne, niekiedy dogodniejsze, sformułowanie twierdzenia.

Niech $X,X_1,X_2,\dots ,X_n$ będą jednakowymi niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero, wariancji równej ${\sigma }^2$ i dla których $𝖤|X{|}^3<\mathrm{\infty }.$

Wówczas

$\underset{t}{\sup }|𝖯(\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i}{\sigma \sqrt{n}}⩽t)-\varphi (t)|⩽L\cdot \frac{𝖤|X{|}^3}{{\sigma }^3\sqrt{n}}$.

Dowód wniosku

Niech $\widetilde{X_i}=\frac{X_i}{\sigma \sqrt{n}},$ przez co

$\sum _{i=1}^n𝖤{\widetilde{X_i}}^2=1.$

Zmienne $\widetilde{X_i}$ spełniają wtedy założenia twierdzenia i zastosowanie go daje tezę wniosku, gdyż

$\sum _{i=1}^n𝖤|\widetilde{X_i}{|}^3=\frac{1}{{\sigma }^3{n}^{\frac{3}{2}}}n𝖤|X{|}^3=\frac{𝖤|X{|}^3}{{\sigma }^3\sqrt{n}}.$

Uwagi

Stała L jest szacowana z coraz większą dokładnością, poczynając od $L=0.7975$ (von Beek, 1972), przez $L=0.7655$ (Shiganov, 1986), $L=0.7056$ (Shevtsova, 2007), $L=0.5129$ (Shevtsova, 2008), aż do $L=0.6379$ w przypadku ogólnym oraz $L=0.5894$ dla sumy zmiennych o takich samych rozkładach (Tyurin, 2009).

Oszacowanie jest asymptotycznie dobre, istnieje przykład pokazujący, że stała $L$ z twierdzenia musi spełniać nierówność

$L⩾\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\approx 0,4.$

Przykład

Ponieważ prawdziwość twierdzenia Berry’ego-Esseena ze stałą $L$ implikuje prawdziwość wniosku dla jednakowych, niezależnych zmiennych losowych ze stałą $L$ to dla wskazania kontrprzykładu dla pewnej stałej wystarczy wskazać kontrprzykład dla tej stałej dla wniosku.

Niech $X,X_1,X_2,\dots ,X_n$ będą jednakowymi, niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że $𝖯(X=\pm 1)=\frac{1}{2}.$ Wówczas ${\sigma }^2=1.$ Niech $n=2k,k\in \mathbb{Z}.$

Wówczas

$\begin{array}{cc}& 𝖯(\frac{X_1+\dots +X_n}{\sqrt{n}}⩽0)-\varphi (0)\\ =& \frac{1+𝖯(X_1+\dots +X_n=0)}{2}-\frac{1}{2}\\ =& \frac{1}{2}𝖯(X_1+\dots +X_n=0)=\frac{1}{2}{2}^{-2k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k}).\end{array}$

Ze wzoru Stirlinga wynika

$n!=\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e}{)}^n(1+O(\frac{1}{n})).$

Zatem

$2^{-2k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})=2^{-2k}\frac{(2k)!}{(k!{)}^2}=2^{-2k}\frac{\sqrt{4\pi n}}{2\pi n}\frac{(\frac{2k}{e}{)}^{2k}}{(\frac{k}{e}{)}^{2k}}(1+O(\frac{1}{n}))=\frac{1}{\sqrt{nk}}(1+O(\frac{1}{n})).$

Stąd zaś

$𝖯(\frac{X_1+\dots +X_n}{\sqrt{n}}⩽0)-\varphi (0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}(1+O(\frac{1}{n})),$

co jest oszacowaniem dolnym $L,$ które wynosi $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}.$

Linki zewnętrzne

• Chen, Po-Ning (2002). Asymptotic Refinement of the Berry-Esseen Constant