Topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń

Topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń (także słaba topologia, Szablon:Ang.) – najuboższa topologia w danym zbiorze $X,$ względem której każde przekształcenie ze z góry zadanej rodziny przekształceń zbioru $X$ o wartościach w przestrzeniach topologicznych jest ciągłe. Pojęcie topologii wprowadzonej przez rodzinę przekształceń wprowadził Nicolas Bourbaki.

Konstrukcja

Niech $X$ będzie zbiorem, $\{Y_i:i\in I\}$ będzie rodziną przestrzeni topologicznych oraz niech dla każdego $i$ dana będzie funkcja (przekształcenie)

$f_i:X\to Y_i.$

W zbiorze $X$ istnieje najsłabsza topologia, względem której każda funkcja $f_i$ jest ciągła. Bazą tej topologii jest rodzina zbiorów postaci

$\bigcap _{i\in J}{f}_i^{-1}[V_i],$

gdzie $J$ jest skończonym podzbiorem zbioru $I$ oraz $V_i$ jest otwartym podzbiorem $Y_i.$ Topologia ta nazywana jest topologią wyznaczoną przez rodzinę przekształceń $\{f_i:i\in I\}.$

• Przekształcenie przestrzeni topologicznej $W$ w przestrzeń $Y,$ której topologia jest wyznaczona przez rodzinę przekształceń $\{f_i:i\in I\},$ gdzie $f_i:Y\to Z_i,$ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $i$ złożenie $f_i\circ f$ jest ciągłe.

Przykłady

• Jeżeli $X$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną, której przestrzeń sprzężona $X^{*}$ jest nietrywialna (na przykład, $X$ jest przestrzenią lokalnie wypukłą, w szczególności, przestrzenią unormowaną), to w zbiorze $X$ można wprowadzić topologię wyznaczoną przez rodzinę $\{x^{*}:x^{*}\in X^{*}\}.$ Topologia ta, nazywana słabą topologią w $X,$ jest liniowa oraz lokalnie wypukła.
• Jeżeli $X$ jest taką przestrzenią liniowo-topologiczną jak wyżej, to w przestrzeni $X^{*}$ można wprowadzić tzw. *-słabą topologię, tj. topologię wprowadzoną przez rodzinę przekształceń $\{{\mathrm{\Phi }}_x:x\in X\},$ gdzie ${\mathrm{\Phi }}_x{x}^{*}=x^{*}x$ dla $x\in X$ i $x^{*}\in X^{*}$ (każde odwzorowanie ${\mathrm{\Phi }}_x$ jest funkcjonałem liniowym na $X^{*}$).

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę