Topologia Vietorisa

Topologia Vietorisa – dla danej przestrzeni topologicznej $X,$ topologia w rodzinie $\mathrm{C}\mathrm{L}(X)$ złożonej ze wszystkich niepustych podzbiorów domkniętych $X$ (w hiperprzestrzeni przestrzeni $X$) zadana przez podbazę składającą się ze zbiorów postaci:

• $\{K\in \mathrm{C}\mathrm{L}(X):K\subseteq U\},$
• $\{K\in \mathrm{C}\mathrm{L}(X):K\cap U\ne \varnothing \},$

gdzie $U$ jest dowolnym zbiorem otwartym w $X$Szablon:Odn. Baza tej topologii składa się ze zbiorów postaci

$[U_0,U_1,\dots ,U_n]=\{K\in \mathrm{C}\mathrm{L}(X):K\subset U_0,K\cap U_i\ne \varnothing \text{dla}i=1,\dots ,n\},$

gdzie $U_1,\dots ,U_n$ są otwartymi podzbiorami $X.$

Nazwa topologii pochodzi od nazwiska austriackiego matematyka Leopolda Vietorisa.

Kwestia przynależności zbioru pustego do hiperprzestrzeni

Wyżej przedstawioną konstrukcję można przeprowadzić w taki sam sposób w przypadku gdy $\mathrm{C}\mathrm{L}(X)$ oznacza rodzinę wszystkich zbiorów domkniętych w $X,$ tj. deklarując, by zbiór pusty był również elementem $\mathrm{C}\mathrm{L}(X)$Szablon:Odn. Wówczas jest on punktem izolowanym w $\mathrm{C}\mathrm{L}(X)$ z topologią Vietorisa ponieważ z otwartoci zbioru pustego wynika, że

$\{\varnothing \}=\{K\in \mathrm{C}\mathrm{L}(X):K\subseteq \varnothing \}.$

Symbolem $2^X$ (zob. kwestię oznaczeń) oznacza się podprzestrzeń przestrzeni $\mathrm{C}\mathrm{L}(X)$ złożoną z niepustych podzbiorów zwartych przestrzeni $X$Szablon:Odn, chociaż niektórzy autorzy symbol ten rezerwują do wyżej zdefiniowanej przestrzeni $\mathrm{C}\mathrm{L}(X)$Szablon:OdnSzablon:Odn.

Związek z metryką Hausdorffa

Jeśli $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną a $d_H$ jest metryką Hausdorffa na $2^X$ związaną z metryką $d,$ to topologia Vietorisa jest zgodna z metryką Hausdorffa.

Wynika stąd następujący wniosek:

Jeśli $X$ jest metryzowalna, to topologia Vietorisa na $2^X$ też jest metryzowalna.

Własności

• Jeśli $X$ jest ośrodkowa, to $\mathrm{C}\mathrm{L}(X)$ też jest ośrodkowa. Istotnie, jeśli $D\subset X$ jest przeliczalnym gęstym podzbiorem $X,$ to $\{K\in \mathrm{C}\mathrm{L}(X):K\subset D,K$ jest skończony, jest przeliczalnym gęstym podzbiorem $\mathrm{C}\mathrm{L}(X).$
• Jeśli $X$ jest metryzowalna w sposób zupełny, to $2^X$ też jest metryzowalna w sposób zupełny.
• Jeśli $X$ jest zwarta, to $\mathrm{C}\mathrm{L}(X)=2^X$ też jest zwarta.
• Jeśli $X$ jest zerowymiarowa, to $2^X$ też jest zerowymiarowa.
• Jeśli $X$ jest przestrzenią homeomorficzną ze zbiorem Cantora, to $2^X$ też jest homeomorficzna ze zbiorem Cantora.
• Przestrzeń $\mathrm{C}\mathrm{L}([0,1]\times ℝ)$ zawiera homeomorficzną kopię przestrzeni $C[0,1].$ Istotnie, dla każdych dwóch funkcji $f,g\in C[0,1]$ mamy $d_H(G_f,G_g)=\Vert f-g{\Vert }_{\sup },$ gdzie $G_f$ i $G_g$ to wykresy funkcji odpowiednio $f$ i $g.$

Zobacz też

• topologia Fella

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• A. Illanes, S.B. Nadler, Jr., Hyperspaces: Fundamentals and Recent Advances, „Pure and Applied Mathematics”, Marcel Dekker, Inc., New York, 1999.
• S.B. Nadler, Jr., Hyperspaces of sets, „Monographs and Textbooks in Pure and Applied Math.”, Vol. 49, Marcel Dekker, Inc., New York, N.Y., 1978.