Szereg 1 − 2 + 4 − 8 + …

Szereg 1 − 2 + 4 − 8 + … – szereg naprzemienny, którego wyrazami są kolejne potęgi liczby 2 z naprzemiennym znakiem. Jako szereg geometryczny, jest on opisany przez pierwszy wyraz szeregu, równy 1, oraz iloraz szeregu geometrycznego, równy −2

$\sum _{k=0}^n(-2{)}^k.$

Jako szereg liczb rzeczywistych jest on rozbieżny, czyli z definicji jego suma nie istnieje. W znacznie szerszym sensie, z tym szeregiem jest skojarzona suma uogólniona $\frac{1}{3}.$

Historia

Gottfried Leibniz rozważał naprzemienny rozbieżny szereg $1-2+4-8+\dots$ już w 1673 roku. Twierdził, że od kolejności wykonywanych działań zależy ostateczny wynik, który wynosi +∞ lub −∞, wobec czego oba wyniki są błędne a całość powinna być skończona.

Nie dość tego, twierdząc, że szereg ma sumę, to ponadto wywnioskował związek z wartością $\frac{1}{3},$ stosując metodę Merkatora.

Matematyka współczesna

Szeregi geometryczne

Dowolna metoda sumacyjna posiadająca właściwości regularności, liniowości i stabilności sumuje szeregi geometryczne

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{q}^k=\frac{a}{1-q}.$

W tym przypadku $a=1,$ a $q=-2,$ więc suma równa się $\frac{1}{3}.$

Sumowanie Eulera

Leonhard Euler, w swojej pracy Institutiones z 1755 roku, zastosował sposób nazywany obecnie transformacją Eulera, w celu przyspieszenia zbieżności szeregów naprzemiennych

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{{\mathrm{\Delta }}^n{a}_0}{2^{n+1}}.$

Korzystając z tej metody, Euler twierdził, że suma szeregu $1-2+4-8+\dots$ wynosi $\frac{1}{3}$. Nie jest to podejście współczesne – obecnie o takiej metodzie można powiedzieć, że zadany szereg jest sumowalny metodą Eulera lub że jego suma eulerowska wynosi $\frac{1}{3}$.

Fragment z Institutiones

Transformację Eulera rozpoczyna ciąg dodatnich składników:

$a_0=1,$

$a_1=2,$

$a_2=4,$

$a_3=8,$

$\dots$

Skąd uzyskujemy ciąg różnic w przód:

$\mathrm{\Delta }{a}_0=a_1-a_0=2-1=1,$

$\mathrm{\Delta }{a}_1=a_2-a_1=4-2=2,$

$\mathrm{\Delta }{a}_2=a_3-a_2=8-4=4,$

$\mathrm{\Delta }{a}_3=a_4-a_3=16-8=8,$

$\dots$

Ciąg ten okazuje się być identyczny jak ciąg początkowy. Stąd iterując kolejne wartości różnic w przód otrzymujemy

${\mathrm{\Delta }}^n{a}_0=1$

dla każdego n. Transformacją Eulera jest szereg

$\frac{a_0}{2}-\frac{\mathrm{\Delta }{a}_0}{4}+\frac{{\mathrm{\Delta }}^2{a}_0}{8}-\frac{{\mathrm{\Delta }}^3{a}_0}{16}+\dots =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\dots$

Jest to zbieżny szereg geometryczny, którego suma obliczona w standardowy sposób wynosi $\frac{1}{3}.$

Sumowanie Borela

Sumowanie metodą Borela szeregu $1-2+4-8+\dots$ także zwraca wynik $\frac{1}{3}.$ Kiedy Émile Borel przedstawiał wzory na obliczanie skończonych sum szeregów naprzemiennych w 1896 roku, zastosował ten szereg jako jeden z przykładów obok 1 − 1 + 1 − 1 +….

Zobacz też

• szereg 1 + 2 + 4 + 8 + …

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę