Stowarzyszone funkcje Legendre’a

Szablon:Dopracować Stowarzyszone funkcje Legendre’a (stowarzyszone wielomiany Legendre’a) – funkcje $P_l^m(x)$ zmiennej rzeczywistej $x\in [-1,1],$ będące kanonicznymi rozwiązaniami równania różniczkowego Legendre’a

$[(1-x^2)\frac{d^2}{d{x}^2}-2x\frac{d}{dx}+\lambda -\frac{m^2}{1-x^2}]f(x)=0,$

gdzie $\lambda ,m$ – parametry równania.

Równanie to ma niezerowe i nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb całkowitych $\lambda ,m,$ takich że

(1) $\lambda =l(l+1)$ oraz

(2) $l,m$ są liczbami całkowitymi, takimi że $0⩽m⩽l.$

Funkcje te są związane z wielomianami Legendre’a $P_l(x)$ zależnością

$P_l^m(x)=(-1{)}^m(1-x^2{)}^{m/2}\frac{d^m}{d{x}^m}{P}_l(x).$

Stowarzyszone funkcje Legendre’a stanowią zasadniczą część tzw. harmonik sferycznych.

Ogólne rozwiązanie równania Legendre’a

Ogólne rozwiązanie $f(x)$ można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji $P_l^m(x)$ o różnych wartościach parametrów $l,m.$ Zazwyczaj rozwiązanie takie znajduje się żądając, aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Przykłady wielomianów Legendre’a $P_l^m(x)$

Associated Legendre functions for m = 4

Kilka pierwszych stowarzyszonych wielomianów Legendre’a, włączając te z ujemnymi wartościami $m,$ są następujące:

(0)

$P_0^0(x)=1$

(1)

$\begin{array}{ccc}& P_1^{-1}(x)& =-\frac{1}{2}{P}_1^1(x)\\ & P_1^0(x)& =x\\ & P_1^1(x)& =-(1-x^2{)}^{1/2}\end{array}$

(2)

$\begin{array}{ccc}& P_2^{-2}(x)& =\frac{1}{24}{P}_2^2(x)\\ & P_2^{-1}(x)& =-\frac{1}{6}{P}_2^1(x)\\ & P_2^0(x)& =\frac{1}{2}(3x^2-1)\\ & P_2^1(x)& =-3x(1-x^2{)}^{1/2}\\ & P_2^2(x)& =3(1-x^2)\end{array}$

(3)

$\begin{array}{ccc}& P_3^{-3}(x)& =-\frac{1}{720}{P}_3^3(x)\\ & P_3^{-2}(x)& =\frac{1}{120}{P}_3^2(x)\\ & P_3^{-1}(x)& =-\frac{1}{12}{P}_3^1(x)\\ & P_3^0(x)& =\frac{1}{2}(5x^3-3x)\\ & P_3^1(x)& =-\frac{3}{2}(5x^2-1)(1-x^2{)}^{1/2}\\ & P_3^2(x)& =15x(1-x^2)\\ & P_3^3(x)& =-15(1-x^2{)}^{3/2}\end{array}$

(4)

$\begin{array}{ccc}& P_4^{-4}(x)& =\frac{1}{40320}{P}_4^4(x)\\ & P_4^{-3}(x)& =-\frac{1}{5040}{P}_4^3(x)\\ & P_4^{-2}(x)& =\frac{1}{360}{P}_4^2(x)\\ & P_4^{-1}(x)& =-\frac{1}{20}{P}_4^1(x)\\ & P_4^0(x)& =\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)\\ & P_4^1(x)& =-\frac{5}{2}(7x^3-3x)(1-x^2{)}^{1/2}\\ & P_4^2(x)& =\frac{15}{2}(7x^2-1)(1-x^2)\\ & P_4^3(x)& =-105x(1-x^2{)}^{3/2}\\ & P_4^4(x)& =105(1-x^2{)}^2\end{array}$

Funkcje Legendre’a wyrażone za pomocą kąta $\theta$

Funkcje $P_l^m(\cos \theta )$

Stowarzyszone funkcje Legendre’a są najbardziej użyteczne, gdy ich argument wyrazi się w funkcji kąta: podstawiając do równania Legendre’a (por. wstęp do artykułu) wielkość $x=\cos \theta$ oraz używając relacji $(1-x^2{)}^{1/2}=\sin \theta$ otrzymuje się równanie różniczkowe zależne od dwóch parametrów $\lambda ,m$ postaci

$[\frac{d^2}{d{\theta }^2}+\mathrm{ctg}\theta \frac{d}{d\theta }+\lambda -\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }]f(\theta )=0.$

Rozwiązaniami tego równania są funkcje $P_l^m(\cos \theta )$ zmiennej $\theta \in [0,\pi ]$ takie że

$P_l^m(\cos \theta )=(-1{)}^m(\sin \theta {)}^m\frac{d^m}{d(\cos \theta {)}^m}{P}_l(\cos \theta ),$

gdzie $P_l(\cos \theta )$ wielomianami Legendre’a z argumentem $x=\cos \theta ,$ przy czym rozwiązania są nieosobliwe tylko gdy spełnione są warunki:

(1) $\lambda =l(l+1)$ oraz

(2) $l,m$ są liczbami całkowitymi, takimi że $0⩽m⩽l.$

Relacje ortogonalności

(1) Dla ustalonego $m$ funkcje $P_l^m(\cos \theta )$ z parametrem $\theta \in [0,\pi ]$ są ortogonalne z wagą $\sin \theta$

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{P}_k^m(\cos \theta )P_l^m(\cos \theta )\sin \theta d\theta =\frac{2(l+m)!}{(2l+1)(l-m)!}{\delta }_{k,l},$

(2) Także, dla danego $l$ mamy

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{P}_l^m(\cos \theta )P_l^n(\cos \theta )\mathrm{cosec}(\theta )d\theta =\{\begin{array}{cc}0& \text{if }m\ne n\\ \frac{(l+m)!}{m(l-m)!}& \text{if }m=n\ne 0\\ \mathrm{\infty }& \text{if }m=n=0.\end{array}$

Ogólne rozwiązanie

Ogólne rozwiązanie $f(\theta )$ można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji $P_l^m(\cos \theta )$ o różnych wartościach parametrów $l,m.$ Zazwyczaj rozwiązanie takie znajduje się żądając, aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Przykłady stowarzyszonych funkcji Legendre’a $P_l^m(\cos \theta )$

$\begin{array}{cc}{P}_0^0(\cos \theta )& =1\\ P_1^0(\cos \theta )& =\cos \theta \\ P_1^1(\cos \theta )& =-\sin \theta \\ P_2^0(\cos \theta )& =\frac{1}{2}(3{\cos }^2\theta -1)\\ P_2^1(\cos \theta )& =-3\cos \theta \sin \theta \\ P_2^2(\cos \theta )& =3{\sin }^2\theta \\ P_3^0(\cos \theta )& =\frac{1}{2}(5{\cos }^3\theta -3\cos \theta )\\ P_3^1(\cos \theta )& =-\frac{3}{2}(5{\cos }^2\theta -1)\sin \theta \\ P_3^2(\cos \theta )& =15\cos \theta {\sin }^2\theta \\ P_3^3(\cos \theta )& =-15{\sin }^3\theta \\ P_4^0(\cos \theta )& =\frac{1}{8}(35{\cos }^4\theta -30{\cos }^2\theta +3)\\ P_4^1(\cos \theta )& =-\frac{5}{2}(7{\cos }^3\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\ P_4^2(\cos \theta )& =\frac{15}{2}(7{\cos }^2\theta -1){\sin }^2\theta \\ P_4^3(\cos \theta )& =-105\cos \theta {\sin }^3\theta \\ P_4^4(\cos \theta )& =105{\sin }^4\theta \end{array}$

Zastosowania w fizyce

Równania opisujące układy i pola o symetrii sferycznej

Stowarzyszone wielomiany Legendre’a są głównymi składnikami rozwiązań równań fizycznych w wielu sytuacjach, gdy układy i pola mają symetrią sferyczną. Np. równanie Schrödingera zapisane dla atomu wodoru, gdy na atom nie działa żadne pole zewnętrzne (np. pole magnetyczne) ma symetrię sferyczną. W takich sytuacjach wygodnie jest zapisać równanie różniczkowe w układzie współrzędnych sferycznych $r,\varphi ,\theta$ i rozwiązać je metodą separacji zmiennych. Część równania, która zostaje po odrzuceniu części radialnej zależnej od $r,$ ma zwykle postać $\mathrm{\Delta }\psi (\theta ,\varphi )+\lambda \psi (\theta ,\varphi )=0,$ przy czym $\mathrm{\Delta }$ oznacza operator Laplace’a zapisany we współrzędnych sferycznych, przy założeniu stałości współrzędnej radialnej $r.$ Rozwiązaniami tego równania są tzw. harmoniki sferyczne, będące iloczynami wielomianów Legendre’a (zależnych od kąta $\theta$) i funkcji zależnych od kąta $\varphi .$

Równanie $\mathrm{\Delta }\psi +\lambda \psi =0$

Wielomiany Legendre’a stanowią główny składnik rozwiązania równania $\mathrm{\Delta }\psi +\lambda \psi =0$ określonego na powierzchni sfery dla zmiennych $\varphi ,\theta .$ Zapisując operator Laplace’a $\mathrm{\Delta }$ we współrzędnych sferycznych dla stałej współrzędnej radialnej $r,$ równanie to przyjmie postać

$[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}]\psi +\lambda \psi =0,$

które rozwiązuje się metodą separacji zmiennych, tj. przyjmując $\psi (\theta ,\varphi )=X(\varphi )\cdot Y(\theta ).$ Otrzymuje się stąd dwa równania:

(1) równanie zależne od $\varphi$

$\frac{d^{2}X}{d{\varphi }^2}+m^{2}X=0$

– jego rozwiązania są postaci $\sin (m\varphi )$ lub $\cos (m\varphi ),$ przy czym $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots ,$ aby rozwiązania były jednoznaczne dla powtarzających się wartości kąta co $2\pi ,$ tj. $X(\varphi +2\pi m)=X(\varphi ).$

(2) równanie zależne od $\theta$

$[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }]Y-[\lambda +\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }]Y=0$

– jego rozwiązaniami są wielomiany Legendre’a $P_l^m(\cos \theta )$ mnożone przez dowolną stałą, przy czym $l⩾m$ oraz $\lambda =l(l+1),$ aby rozwiązania nie były osobliwe.

Równanie $\mathrm{\Delta }\psi +\lambda \psi =0$ posiada więc nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb $\lambda$ takich że $\lambda =l(l+1),$ przy czym rozwiązania te są proporcjonalne do

$P_l^m(\cos \theta )\cos (m\varphi )0⩽m⩽l$

i

$P_l^m(\cos \theta )\sin (m\varphi )0<m⩽l.$

Dla każdej liczby $l$ mamy $2\ell +1$ funkcji o różnych wartościach $m$ oraz dwie funkcje sin i cos. Funkcje te są ortogonalne zarówno dla różnych wartości liczb $\ell$ oraz $m,$ jeżeli całkuje się je po całej powierzchni sfery.

Rozwiązania te zapisuje się zwykle z użyciem zespolonej funkcji eksponencjalnej

$Y_l^m(\theta ,\varphi )=\sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi (l+m)!}}{P}_l^m(\cos \theta )e^{im\varphi }-l⩽m⩽l.$

Funkcje $Y_l^m(\theta ,\varphi )$ nazywa się harmonikami sferycznymi; wielkość pod pierwiastkiem jest czynnikiem normalizacyjnym. Z powyższego wzoru wynika, że zależność między harmonikami sferycznymi o tych samych wartościach $l,$ a przeciwnych wartościach $m,$ spełnia zależność

$Y_l^{m*}(\theta ,\varphi )=(-1{)}^m{Y}_l^{-m*}(\theta ,\varphi ),$

gdzie $*$ oznacza sprzężenie zespolone.