Stopień Brouwera

Stopień 2. dwóch map z kuli na siebie

Przykład 4. stopnia

Stopień Brouwera lub inaczej stopień topologiczny – narzędzie pozwalające na określenie, czy dane równanie $f(x)=y$ ma rozwiązanie. Jest jednym z niezmienników topologicznych i ma szerokie zastosowanie w nieliniowej analizie matematycznej.

Definicja dla funkcji o wartościach w $n$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej

Niech $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$ będzie zbiorem otwartym i ograniczonym, a $f:\bar{\mathrm{\Omega }}\to {ℝ}^n$ funkcją ciągłą, gdzie $\bar{\mathrm{\Omega }}$ oznacza domknięcie zbioru $\mathrm{\Omega }.$ Niech ponadto $y\notin f(\partial \mathrm{\Omega }).$ Stopniem topologicznym trójki $(f,\mathrm{\Omega },y)$ nazwiemy liczbę całkowitą $\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)$ spełniającą trzy poniższe aksjomaty:

1. $\mathrm{deg}(\mathrm{i}\mathrm{d},\mathrm{\Omega },y)={\mathrm{𝟏}}_{\mathrm{\Omega }}(y),$ gdzie ${\mathrm{𝟏}}_{\mathrm{\Omega }}$ oznacza funkcję charakterystyczną zbioru $\mathrm{\Omega },$ a $\mathrm{i}\mathrm{d}$ oznacza odwzorowanie identycznościowe zbioru $\bar{\mathrm{\Omega }}$ (normalizacja).
2. Jeśli ${\mathrm{\Omega }}_1$ i ${\mathrm{\Omega }}_2$ są rozłącznymi podzbiorami otwartymi zbioru $\mathrm{\Omega }$ oraz $y\notin f(\bar{\mathrm{\Omega }}\setminus ({\mathrm{\Omega }}_1\cup {\mathrm{\Omega }}_2)),$ to $\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)=\mathrm{deg}(f,{\mathrm{\Omega }}_1,y)+\mathrm{deg}(f,{\mathrm{\Omega }}_2,y)$ (addytywność).
3. Jeśli $h:\bar{\mathrm{\Omega }}\times [0,1]\to {ℝ}^n,y:[0,1]\to {ℝ}^n$ są funkcjami ciągłymi, oraz dla dowolnego $t$ mamy $y(t)\notin h(\cdot ,t)(\partial \mathrm{\Omega }),$ to wartość $\mathrm{deg}(h(\cdot ,t),\mathrm{\Omega },y(t))$ nie zależy od wyboru $t$ (homotopijna niezmienniczość).

Można wykazać, że istnieje dokładnie jedna funkcja przyporządkowująca każdej trójce $(f,\mathrm{\Omega },y)$ liczbę całkowitą $\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)$ spełniająca powyższe warunki. Zatem definicja jest poprawna.

Własności stopnia

Stopień topologiczny Brouwera spełnia ponadto następujące własności:

1. Jeśli $\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)\ne 0,$ to istnieje $x\in \mathrm{\Omega }$ takie, że $y=f(x).$
2. Jeśli $g:\bar{\mathrm{\Omega }}\to ℝ$ oraz równość $f(x)=g(x)$ zachodzi dla argumentów z brzegu $x\in \partial \mathrm{\Omega },$ to $\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)=\mathrm{deg}(g,\mathrm{\Omega },y).$
3. Jeśli $g:\bar{\mathrm{\Omega }}\to ℝ$ oraz odległość $\Vert f-g\Vert$ pomiędzy tymi funkcjami jest mniejsza od odległości $y$ od obrazu brzegu: $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(y,f(\partial \mathrm{\Omega })),$ to $\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)=\mathrm{deg}(g,\mathrm{\Omega },y).$
4. Jeśli $z\in {ℝ}^n$ oraz odległość punktów $\Vert y-z\Vert$ jest mniejsza od odległości $y$ od obrazu brzegu: $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(y,f(\partial \mathrm{\Omega })),$ to $\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)=\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },z).$
5. Jeśli $\phi :{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ jest homeomorfizmem, to $\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)=\mathrm{deg}(\phi \circ f\circ {\phi }^{-1},\phi (\mathrm{\Omega }),\phi (y)).$
6. Jeśli $A$ jest zbiorem domkniętym i $y\notin f(A),$ to $\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)=\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega }\setminus A,y).$

Związek z indeksem Morse’a

Dla dowolnego odwzorowania liniowego, odwracalnego (izomorfizmu) $A:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ przez $m_{-}(A)$ oznacza się indeks Morse’a, tj. sumę krotności algebraicznych wszystkich ujemnych wartości własnych odwzorowania $A.$ Niech $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$ oznacza zbiór otwarty i ograniczony, i niech $y\notin A(\partial \mathrm{\Omega }).$ Wtedy, jeśli $y\notin A(\mathrm{\Omega }),$ to stopień topologiczny $\mathrm{deg}(A,\mathrm{\Omega },y)$ jest równy 0, a w przeciwnym wypadku wynosi $(-1{)}^{m_{-}(A)}.$

Zastosowania

Stopień Brouwera często stosuje się w teorii bifurkacji równań różniczkowych, np. w dowodzie twierdzenia Krasnosielskiego o istnieniu punktów bifurkacji. W problemach nieskończenie wiele wymiarowych stosuje się odpowiednie uogólnienia stopnia Brouwera, np. stopień Leray-Schaudera.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę