Stała Omega

Stała Omega – stała matematyczna $\mathrm{\Omega }$ zdefiniowana jako rozwiązanie równania:

$x{e}^x=1.$

Można ją także przedstawić za pomocą funkcji W Lamberta:

$\mathrm{\Omega }:=W(1).$

Wynosi ona w przybliżeniu:

$\mathrm{\Omega }=0,567143290409783873\dots$ Szablon:OEIS

Aby obliczyć $\mathrm{\Omega }$ z dowolną dokładnością można skorzystać ze sposobu iteracyjnego: przyjmujemy dowolną wartość dla ${\mathrm{\Omega }}_0,$ a kolejne przybliżenia liczby $\mathrm{\Omega }$ daje prosty wzór:

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=e^{-{\mathrm{\Omega }}_n}.$

Oczywiście uzyskana dokładność przybliżenia $\mathrm{\Omega }$ zależy także od przyjętej dokładności liczby $e$.

Niewymierność i przestępność

Dowód tego, że $\mathrm{\Omega }$ jest niewymierne, może być uzyskany bezpośrednio z faktu, że $e$ jest przestępne. Załóżmy, że $\mathrm{\Omega }$ jest wymierne. Zatem istnieją liczby całkowite $p$ i $q$ takie, że:

$\mathrm{\Omega }=\frac{p}{q}.$

Zatem:

$1=\frac{p{e}^{p/q}}{q},$

$e=\sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}}.$

Zatem $e$ musiałoby być liczbą algebraiczną. Ale ponieważ $e$ jest przestępne, zatem $\mathrm{\Omega }$ musi być niewymierne.

Przestępność stałej $\mathrm{\Omega }$ wynika bezpośrednio z twierdzenia Lindemanna-Weierstrassa. Jeśli $\mathrm{\Omega }$ byłaby liczbą algebraiczną, $e^{\mathrm{\Omega }}$ byłoby przestępne, tak samo jak $e^{-\mathrm{\Omega }}.$ Przeczy to przypuszczeniu, że jest ono liczbą algebraiczną (bo $e^{-\mathrm{\Omega }}=\mathrm{\Omega }$).

Zobacz też

• funkcja W Lamberta