Funkcja W Lamberta

Wykres funkcji $W_0(x)$ oraz $W_{-1}(x).$

$z=\mathrm{R}\mathrm{e}(W_0(x+iy))$
część rzeczywista funkcji $W_0$

$z=\mathrm{I}\mathrm{m}(W_0(x+iy))$
część urojona funkcji $W_0$

$z=|W_0(x+iy)|$
moduł funkcji $W_0$

Funkcja W Lamberta lub funkcja Omega – funkcja specjalna używana podczas rozwiązywania równań zawierających niewiadomą zarówno w podstawie, jak i wykładniku potęgi. Określona jest jako funkcja odwrotna do $f(w)=w{e}^w,$ gdzie $w$ należy do zbioru liczb zespolonych. Oznacza się ją symbolem $W(z).$ Zatem dla każdej liczby zespolonej $z$ zachodzi:

$z=W(z)e^{W(z)}.$

Ponieważ funkcja $f$ nie jest iniekcją, $W(z)$ musi być odwzorowaniem wielowartościowym. Tworzy się zatem rodzinę funkcji $W_k(z),$ gdzie $k\in \mathbb{Z}$ oznacza numer gałęzi. Dla $k=0$ przyjmuje się gałąź $W_0(z)$ opisaną poniżej, rozszerzoną na wszystkie liczby zespolone. Ze wzrostem $k$ rośnie też część urojona funkcji $W_k(z).$

Jeśli założymy, że $x$ oraz $W(x)$ mają być rzeczywiste, wtedy odwzorowanie istnieje jedynie dla $x⩾-1/e,$ a na odcinku $(-1/e,0)$ jest dwuwartościowe. Jeśli dodatkowo założymy, że $W(x)⩾-1,$ otrzymamy funkcję $W_0(x).$ Alternatywna gałąź oznaczana $W_{-1}(x)$ to funkcja malejąca od $-1$ (dla $x=-1/e$) do $-\mathrm{\infty }$ (dla $x=0^{-}$). Obie te gałęzie przedstawione są na wykresie obok.

Własności funkcji W(z)

Równanie $x^x=z$ ma rozwiązanie:

$x=\frac{\ln (z)}{W(\ln z)}=\exp W(\ln (z)).$

Pierwotną funkcji $W$ można znaleźć, całkując przez podstawienie: jeżeli $w=W(x),$ to $x=w{e}^w.$ Wówczas:

$\int W(x)dx=x(W(x)-1+\frac{1}{W(x)})+C.$

Pochodna funkcji $W$ wynosi:

$\frac{dW(z)}{dz}=\frac{W(z)}{z(1+W(z))}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{a}z\ne -\frac{1}{e}.$

Dowód

Różniczkując równanie $z=W(z)e^{W(z)}$ obustronnie względem $z,$ otrzymamy

$1=W(z)e^{W(z)}{W}^{\prime }(z)+W^{\prime }(z)e^{W(z)}=W^{\prime }(z)(W(z)e^{W(z)}+e^{W(z)}),$

$W^{\prime }(z)=\frac{1}{z+e^{W(z)}}=\frac{W(z)}{W(z)z+W(z)e^{W(z)}}=\frac{W(z)}{z(W(z)+1)}.$

Zastosowanie

Funkcja $W$ znajduje zastosowanie w kombinatoryce i przy rozwiązywaniu trudnych równań różniczkowych. Wiele równań zawierających niewiadomą w potędze może być rozwiązanych za pomocą tej funkcji. Najczęściej problem polega wtedy na sprowadzeniu równania do formy $Y=X{e}^X,$ przez co automatycznie otrzymuje się rozwiązanie:

$Y=X{e}^X⟺X=W(Y).$

Przykład 1

$2^t=5t$

$\Rightarrow 5t=e^{t\ln 2}$

$\Rightarrow \frac{1}{5t}=e^{-t\ln 2}$

$\Rightarrow \underset{Y}{\underbrace{-\frac{\ln 2}{5}}}=\underset{X}{\underbrace{-t\ln 2}}{e}^{\stackrel{X}{\overbrace{-t\ln 2}}}$

$\Rightarrow \underset{X}{\underbrace{-t\ln 2}}=W\left(\underset{Y}{\underbrace{-\frac{\ln 2}{5}}}\right)$

$\Rightarrow t=-\frac{W(-\frac{\ln 2}{5})}{\ln 2}$

Przykład 2

Jeśli wartość $z^{z^{z^{\dots }}}$ jest skończona, można ją obliczyć w następujący sposób:

$c=z^{z^{z^{\dots }}},$

$\Rightarrow c=z^c.$

Używając rozumowania przedstawionego powyżej, otrzymujemy:

$c=-\frac{W(-\ln z)}{\ln z}.$

Uwaga

Aby udowodnić, że wartość $z^{z^{z^{\dots }}}$ istnieje, należy rozpatrzyć ciąg:

$a=(z,z^z,z^{z^z},\dots )$

lub (w postaci rekurencyjnej):

$\{\begin{array}{c}{a}_1=z\\ a_n=z^{a_{n-1}}\end{array}$

i udowodnić istnienie jego granicy. Jeśli ona istnieje, wtedy zachodzi równość

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=c.$

Przykład 3

Równanie różniczkowe:

$y^{\prime }(t)=ay(t-1)$

ma równanie charakterystyczne $\lambda =a{e}^{-\lambda },$ czyli $\lambda =W_k(a),$ gdzie $k$ to numer gałęzi (jeśli $a$ jest rzeczywiste, wtedy wystarczy uwzględnić gałąź $W_0(a)$). Rozwiązanie wynosi zatem:

$y(t)=e^{W_k(a)t}.$

Ważne wartości

$W_0(-\frac{\pi }{2})$	$=\frac{\pi }{2}i$
$W_0(-1)$	$\approx -0,31813+1,33723i$
$W_0(-\frac{1}{e})$	$=-1$
$W_0(-\frac{\ln 2}{2})$	$=-\ln 2$
$W_0(0)$	$=0$
$W_0(e)$	$=1$
$W_0(1)$	$=\mathrm{\Omega }\approx 0,56714329$ (stała Omega)

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-05-31].