Splot Hopfa

Plik:Hopf-Verschlingung 20230214 001.stl Splot Hopfa – najprostszy nietrywialny Szablon:Link-interwikiSzablon:Odn. Składa się z dwóch okręgów jednokrotnie połączonychSzablon:Odn. Nazwany imieniem matematyka Heinza HopfaSzablon:Odn. W notacji Alexandera-Briggsa jest oznaczany symbolem $2_1^2$Szablon:Odn. Jego symbolem w komputerowych bazach danych jest $L2a1$Szablon:Odn.

Realizacja geometryczna

Konkretny model składa się z dwóch okręgów jednostkowych na prostopadłych płaszczyznach, każdy przechodzący przez środek drugiegoSzablon:Odn. Taki model minimalizuje Szablon:Link-interwiki tego splotuSzablon:Odn. Do 2002 splot Hopfa był jedynym, dla którego taka długość była znanaSzablon:Odn. Otoczka wypukła tych dwóch okręgów tworzy kształt zwany oloidemSzablon:Odn.

Własności

• Szablon:Link-interwiki splotu wynosi $2$.
• Szablon:Link-interwiki splotu to $1$Szablon:Odn.
• Szablon:Link-interwiki splotu Hopfa toSzablon:OdnSzablon:Odn

  $-A^4-A^{-4}$

• Bez narzuconej orientacji splot Hopfa nie wykazuje chiralnościSzablon:Odn.
• Przy założeniu orientacji składników istnieją dwa różne warianty splotu Hopfa oznaczane słowem „prawy/lewy”Szablon:Odn, znakiem „+/−”Szablon:OdnSzablon:Odn bądź przyrostkiem $\{0\}$ lub $\{1\}$ w symbolu bazodanowymSzablon:Odn.

Ze względu na różne orientacje następujące niezmienniki mają podwójne wyniki

• Szablon:Link-interwiki wynosi $+1$ lub $-1$Szablon:OdnSzablon:Odn.
• Szablon:Link-interwiki to $+2$ lub $-2$Szablon:Odn.
• Szablon:Link-interwiki mają postaćSzablon:Odn

  $l^3{m}^{-1}+l{m}^{-1}-lm$

  $l^{-3}{m}^{-1}+l^{-1}{m}^{-1}-l^{-1}m$

• Szablon:Link-interwiki toSzablon:Odn

  $-t^{1/2}-t^{5/2}$

  $-t^{-1/2}-t^{-5/2}$

Pozostałe własności

• Splot Hopfa to węzeł torusowy (2,2)Szablon:Odn grupy Bn ze słowem elementarnym ${\sigma }_1^2$Szablon:Odn.
• Jest to również Szablon:Link-interwikiSzablon:Odn.
• Szablon:Link-interwiki splotu Hopfa jest $R\times S^1\times S^1,$ czyli walec nad torusemSzablon:Odn, iloczyn kartezjański torusa i odcinkaSzablon:Odn. Stanowi on grupę przemienną $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$Szablon:Odn.

Historia

Strukturę w kształcie splotu Hopfa analizował Gauss w swojej pracy o elektrodynamiceSzablon:Odn. Z wzajemnych zależności między polem magnetycznym i elektrycznym wyprowadził niezależny od praw fizyki wzór na relację między dwiema zamkniętymi krzywymi, którą obecnie w topologii określa się mianem Szablon:Link-interwiki. W swojej notatce z 22 stycznia 1833 opisał ten bezwymiarowy współczynnik jako liczbę zwojówSzablon:Odn. Stąd w przypadku prawa Ampère’a nazywany jest on liczbą GaussaSzablon:Odn.

William Thomson opublikował w 1867 r. pracę, w której wysunął koncepcję budowy atomu opartą na węzłach i splotachSzablon:Odn. Wśród wymienianych przykładów wirowych rurek był obecny splot HopfaSzablon:Odn, który miał reprezentować atom soduSzablon:Odn.

W 1931 r. Heinz Hopf opublikował pracę o Szablon:Link-interwiki $S^3$ (hipersfery z 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej)Szablon:Odn, czyli utworzeniu jej mapy z wykorzystaniem klasycznej sfery $S^2$ w przestrzeni trójwymiarowejSzablon:Odn. Dla każdego punktu sfery przyporządkowane jest włókno w postaci okręguSzablon:Odn. Cechą tego przekształcenia jest to, że dla dowolnych dwóch punktów odpowiadająca im para okręgów tworzy charakterystyczny splotSzablon:Odn.

Biologia i chemia

• Struktury w postaci splotów Hopfa są obserwowane w budowie niektórych białekSzablon:Odn.
• W wyniku działania rezolwazy Tn3 powstaje najprostszy 2-katekan, którego budowa odzwierciedla splot HopfaSzablon:Odn.

Symbolika

• Symbolem trwałego małżeństwa są dwie splecione obrączki ułożone obok siebieSzablon:Odn.
• Dwa splecione pierścienie jeden nad drugim to symbol połączenia fizyczności i duchowościSzablon:Odn.
• W herbach niemieckich gmin Boos, Brieden, Gransdorf, Großlittgen, Idenheim, Maring-Noviand i Pommern znajdują się dwa splecione pierścienie, co ma podkreślać ich historyczne powiązania z Szablon:Link-interwiki.
• Dwa splecione pierścienie widnieją także w herbie miasta Hettingen, które pochodzą z herbu pierwotnie oddzielnej gminy Szablon:K, włączonej do miasta w 1975 r.
• W Australii w miejscu Szablon:Współrzędne znajduje się pomnik o potocznej nazwie Więzy Przyjaźni, który ma kształt dwóch splecionych ogniw.

Zobacz też

• koła olimpijskie
• pierścienie boromejskie

Bibliografia

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Szablon:Cytuj