Spirala hiperboliczna

Spirala hiperboliczna a = 2

Spirala hiperboliczna – krzywa płaska, dana we współrzędnych biegunowych wzorem:

$r=\frac{a}{\phi },$

gdzie $a$ – pewna stała. Gdy kąt $\phi$ dąży do nieskończoności, to długość promienia wodzącego dąży do 0. W przypadku spirali hiperbolicznej biegun jest tzw. punktem asymptotycznym krzywej – spirala hiperboliczna zwija się nieskończenie wiele razy wokół niego, nigdy go nie osiągając.

Przechodząc od równania we współrzędnych biegunowych do równania we współrzędnych kartezjańskich za pomocą przekształceń:

$\{\begin{array}{c}x=r\cos \phi \\ y=r\sin \phi \end{array}$

równanie parametryczne spirali hiperbolicznej przyjmuje postać:

$\{\begin{array}{c}x(t)=a\frac{\cos t}{t}\\ y(t)=a\frac{\sin t}{t}\end{array}$

gdzie $t$ – parametr równania.

Przy $t$ dążącym do zera spirala ma asymptotę:

$\underset{t\to 0}{\lim }x(t)=a\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\cos t}{t}=\mathrm{\infty }$

$\underset{t\to 0}{\lim }y(t)=a\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=a\cdot 1=a.$

Własności

• Podstyczna spirali hiperbolicznej opisana jest równaniem $y=-a.$
• Wymiar pudełkowy spirali hiperbolicznej, jako spirali algebraicznej, jest większy od 1 (w przeciwieństwie do spirali logarytmicznej, której wymiar pudełkowy jest równy 1).

Zobacz też

• lista krzywych
• lituus
• spirala algebraiczna
• spirala Archimedesa
• spirala Galileusza
• spirala logarytmiczna

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Szablon:Otwarty dostęp Hyperbolic spiral Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].