Składowa jedynki

Szablon:Spis treści Składowa jedynki – dla danej grupy topologicznej $G$ składowa spójności $G_0$ zawierająca jedynkę grupy. Podobnie drogowa składowa jedynki grupy topologicznej $G$ jest drogowa składowa spójności grupy $G$ zawiera element neutralny grupy.

Własności

Składowa jedynki $G_0$ jest domkniętą podgrupą normalną grupy $G.$ Domkniętość wynika z faktu, iż składowe są zawsze domknięte. Jest ona podgrupą, ponieważ mnożenie i odwrotność są odwzorowaniami ciągłymi. Co więcej, dla każdego ciągłego automorfizmu $a$ grupy $G$ zachodzi

$a(G_0)=G_0,$

skąd wynika, że normalność $G_0$ w grupie $G.$

Składowa spójności $G_0$ nie musi być zbiorem otwartym w $G.$ Istotnie, może być $G_0=\{e\},$ kiedy to $G$ jest całkowicie niespójna. Jednakże składowa jedynki przestrzeni lokalnie drogowo spójnej (na przykład grupy Liego) jest zawsze otwarta, ponieważ zawiera drogowo spójne otoczenie zbioru $\{e\};$ jest to więc zbiór otwarto-domknięty.

Drogowa składowa jedynki może być w ogólności mniejsza niż składowa jedynki (ponieważ drogowa spójność jest warunkiem silniejszym niż spójność), jednakże pokrywają się one, gdy $G$ jest lokalnie drogowo spójna.

Grupa składowych

Grupa ilorazowa $G/G_0$ nazywana jest grupą składowych grupy $G.$ Jej elementami są po prostu spójne składowe $G.$ Grupa składowych $G/G_0$ jest ona dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy $G_0$ jest otwarta. Jeżeli $G$ jest afiniczną grupą algebraiczną, to $G/G_0$ jest w istocie grupą skończoną.

Można podobnie zdefiniować drogową składową grupy jako grupę składowych drogowych (iloraz grupy przez drogową składową jedynki); w ogólności grupa składowych jest ilorazem grupy składowych drogowych, ale jeśli $G$ jest lokalnie drogowo spójna, to grupy te pokrywają się. Grupę składowych drogowych można scharakteryzować jako zerową grupę homotopii, ${\pi }_0(G,e).$

Przykłady

• Grupa niezerowych liczb rzeczywistych z mnożeniem $({ℝ}^{*},\cdot )$ ma dwie składowe, przy czym grupą składowych jest $(\{1,-1\},\cdot ).$
• Niech dana będzie grupa elementów odwracalnych $U$ pierścienia liczb podwójnych. W zwyczajnej topologii płaszczyzny $\{z=x+jy:x,y\in ℝ\}$ grupa $U$ rozpada się na cztery składowe oddzielone prostymi $y=x$ oraz $y=-x,$ gdzie $z$ nie ma odwrotności. Wówczas $U_0=\{z:|y|<x\}.$ w tym przypadku grupa składowych $U$ jest izomorficzna z grupą czwórkową Kleina.

Bibliografia

• Lew Pontriagin, Topological Groups, 1966.