Sieć odwrotna

Sieć odwrotna – pojęcie abstrakcyjne, wprowadzone dla ułatwienia krystalograficznej interpretacji obrazów dyfrakcyjnych (zob. np. obraz Lauego); aby skonstruować sieć odwrotną określonej rzeczywistej sieci krystalicznejSzablon:R:

1. z dowolnego węzła sieci rzeczywistej wyprowadza się proste normalne do każdej z rodzin płaszczyzn sieciowych,
2. wzdłuż tych prostych rozmieszcza się węzły sieciowe stosując translację o wektor sieci odwróconejSzablon:R.

Rzeczywista sieć przestrzenna i jej transformacje translacyjne

„Sieć przestrzenna” Bravais’go (translacyjna) jest układem regularnie rozmieszczonych w przestrzeni punktów geometrycznych, w których jest lokalizowana jednakowa „baza” – atomy, jony lub cząsteczki o różnym stopniu złożoności. Te punkty są nazywane „węzłami sieci”. „Płaszczyzną sieciową” jest każda płaszczyzna, na której leżą co najmniej trzy węzły nie należące do jednej prostej. Wszystkie płaszczyzny tworzą rodziny płaszczyzn równoległych (równoważnych), opisywanych zespołem trzech wskaźników Millera (h k l). Opis „struktury krystalicznej” obejmuje informacje o rodzaju sieci przestrzennej i o jej bazieSzablon:R.

Sieć przestrzenna jest niezmiennicza na transformację translacyjną o wektor $T$Szablon:R:

$T=n_{1}a+n_{2}b+n_{3}c,$

gdzie:

$n_1,n_2,n_3$ – liczby całkowite,

$a,b,c$ – proste wektory sieci rzeczywistej (wektory bazowe, wektory podstawowe).

Wybór kompletu wektorów prostychSzablon:U decyduje o kształcie i wielkości komórki elementarnej (komórki prostej), która może nie być komórką o najmniejszej objętości (minimalną objętość ma zawsze komórka Wignera-Seitza)Szablon:R. Szablon:Grafika rozwinięta

Tworzenie i cechy sieci odwrotnej

Dyfrakcja i interferencja światła w doświadczeniu Younga

Schemat powstawania dyfraktogramu Lauego

Porównanie cech sieci rzeczywistej i odwrotnej

Sieć odwrotna nie jest określona w przestrzeni rzeczywistej (nie można z nią wiązać żadnych obiektów materialnych), lecz w przestrzeni wektorów falowych $k$Szablon:U.

Inspiracją do prób opisu przestrzeni wektorów falowych był obserwacje zjawiska dyfrakcji promieniowania rentgenowskiego przechodzącego przez sieć krystaliczną, np. powstawania lauegramów (Max von Laue, 1912) było uznanie tego promieniowania za falę elektromagnetyczną (nie było to wówczas oczywiste), która pobudza elektrony atomów bazy powodując, że węzły sieci stają się źródłami fal kulistych (zob. też dyfrakcja). Fale biegnące z wielu takich punktowych źródeł ulegają superpozycji – zachodzi interferencja, analogiczna do interferencji fal kulistych opuszczających dwie szczeliny w doświadczeniu Younga. Uznając sieć przestrzenną za 3-wymiarową siatkę dyfrakcyjną należało opisać trójwymiarową przestrzeń wektorów falowych. Takim opisem jest sieć odwrotna – trójwymiarowa przestrzeń wektorów falowych. Została opisana z użyciem transformacji Fouriera.

Wspólną cechą sieci prostej i odwrotnej jest możliwość wyróżnienia węzłów (określonych punktów) i analizowania symetriiSzablon:R.

Przekształceniom sieci rzeczywistej, polegającym na translacjach o wektorSzablon:R:

$R=n{a}_1+m{a}_2+p{a}_3$

odpowiadają transformacje jej sieci odwrotnej, polegające na translacji o wektor:

$G=h{g}_1+k{g}_2+l{g}_3,$

gdzie:

$g_1,g_2,g_3$ – wektory sieci odwrotnej,

$g_1=2\pi /V\cdot (a_2\times a_3),$

$g_2=2\pi /V\cdot (a_3\times a_1),$

$g_3=2\pi /V\cdot (a_1\times a_2),$

$V=a_1\cdot (a_2\times a_3)$ – objętość komórki elementarnej w sieci prostej.

Każdemu z wektorów $G$ odpowiada określona rzeczywista płaszczyzna sieciowa (wskaźniki Millera h, k, l), do której jest on prostopadły. W tak zdefiniowanej przestrzeni wektorów falowych wyznacza się komórkę elementarną, określoną przez wektory proste $g_1,$ $g_2$ i $g_3$Szablon:U. Najmniejsza elementarna komórka sieci odwrotnej, która odpowiada komórce Wignera-Seitza, jest nazywana pierwszą strefą Brillouina.

Geometryczną interpretacją zjawiska powstawania dyfraktogramów rentgenowskich, sporządzanych dla różnych kątów padania promieniowania X i różnych długości fali $(\lambda ),$ jest konstrukcja P.P. EwaldaSzablon:R (sfera Ewalda)Szablon:R.

Zobacz też

• elementy symetrii kryształów
• układ krystalograficzny

Linki zewnętrzne

• Max Perutz (Churchill College, Cambridge, lipiec 1996), Crystallography > Direct and reciprocal lattices
• Szablon:Cytuj stronę, interaktywne materiały dydaktyczne University of Cambridge, m.in. Ewald Sphere Interactive, the relationship between the real lattice and the reciprocal lattice (animacja)
• Christophe Aronica, Erwann Jeanneau, Diffraction des rayons X Techniques et études des structures cristallines, publ. Catherine Simand, 2009-10-28
• Author: Vlad Zamlynny, Reciprocal lattice i X-ray diffraction