Równanie różniczkowe Laplace’a

Pierre Simon de Laplace, twórca równania

Równanie różniczkowe Laplace’a – równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu postaci:

$\mathrm{\Delta }u(x)=0,$

gdzie funkcja $u:𝒰\subseteq {ℝ}^n\to ℝ$ jest klasy $C^2(𝒰).$ Znak $\mathrm{\Delta }$ oznacza operator Laplace’a. Dla $n=3,$ w kartezjańskim układzie współrzędnych, równanie ma więc postać:

$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}u(x,y,z)+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}u(x,y,z)+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}u(x,y,z)=0.$

Alternatywne zapisy równania to:

$\mathrm{div}\mathrm{grad}u=0,$

czyli laplasjan jako dywergencja gradientu, a także:

${\mathrm{\nabla }}^{2}u=0,$ gdzie $\mathrm{\nabla }$ to operator nabla.

Nazwa równania pochodzi od nazwiska Pierre’a Simona de Laplace’a, który sformułował je w XVIII wieku.

Interpretacja fizyczna

Równanie to wyraża następującą własność pola potencjalnego: dywergencja (rozbieżność) wektorowego pola potencjalnego (czyli gradientu potencjału), pod nieobecność źródła jest równa zeru. Opisuje ono zatem wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. potencjał grawitacyjny poza punktami źródeł pola (czyli bez punktów materialnych), potencjał prędkości cieczy przy braku źródeł. Równanie Laplace’a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona, wyrażającego analogiczny związek w przypadku istnienia źródeł pola.

Równanie Laplace’a występuje m.in.Szablon:Odn:

• w elektrostatyce – potencjał elektrostatyczny V pod nieobecność ładunku elektrycznego spełnia równanie Laplace’a,
• w termodynamice – opisuje przepływ statyczny ciepła,
• w mechanice płynów – opisuje przepływ bezwirowy cieczy,
• w elektrodynamice – opisuje przepływ prądu w ośrodkach rozciągłych,
• w mechanice – opisuje odkształcenia membran sprężystych.

Interpretacja matematyczna

Równanie Laplace’a jest równaniem eliptycznym. Funkcję spełniającą równanie różniczkowe Laplace’a nazywamy funkcją harmoniczną.

Rozwiązania

Wzór Poissona dla półprzestrzeni

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej $g:{ℝ}^{n-1}\to ℝ$ rozwiązaniem równania Laplace’a w półprzestrzeni ${ℝ}_{+}^n=\{x=(x_1,\dots ,x_n):x_n>0\}$ spełniającym na brzegu $\partial {ℝ}_{+}^n=\{x=(x_1,\dots ,x_n):x_n=0\}$ dla $y\in {ℝ}^{n-1}$ warunek $u(y,0)=g(y)$ jest:

$u(x)=\frac{2x_n}{n\alpha (n)}\underset{\partial {ℝ}_{+}^n}{\int }\frac{g(y)}{|x-(y,0){|}^n}dy,$

gdzie $\alpha (n)$ jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Wzór Poissona dla kuli

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej $g:{𝕊}^{n-1}(0,r)\to ℝ$ rozwiązaniem równania Laplace’a w (hiper-)kuli $K^n(0,r)$ spełniającym na (hiper-)sferze $\partial K^n(0,r)=S^{n-1}(0,r)$ warunek $u(y)=g(y)$ jest:

$u(x)=\frac{r^2-|x{|}^2}{n\alpha (n)r}\underset{S^{n-1}(0,r)}{\int }\frac{g(y)}{|x-y{|}^n}dS(y),$

gdzie $\alpha (n)$ jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Zobacz też

• laplasjan, dywergencja, nabla
• równanie różniczkowe Poissona
• funkcja harmoniczna

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Laplace equation Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].