Równanie ciągłości

Równanie ciągłości – matematyczny zapis w postaci równania opisujący zmianę rozkładu wielkości fizycznej w ośrodku ciągłym. Szczególnie prostą formę przyjmuje dla wielkości spełniającej prawo zachowania. Np. wyraża zasadę zachowania ładunku, zasadę zachowania masy, a nawet zasadę zachowania prawdopodobieństwa.

Istotne jest, że równanie ciągłości wyraża lokalną zasadę zachowania, tzn. jeśli w infinitezymalnym obszarze maleje dana substancja (ładunek, masa, prawdopodobieństwo), to substancja ta nie pojawia się w miejscu dowolnie odległym od tego obszaru, ale wypływa (w postaci prądu) przez powierzchnię, otaczającą ten obszar.

Równanie ciągłości w postaci różniczkowej

Równanie ciągłości w postaci różniczkowej dla wielkości zachowawczej ma postać:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝒋=-\frac{\partial \rho }{\partial t},$

czyli

$\frac{\partial j_x}{\partial x}+\frac{\partial j_y}{\partial y}+\frac{\partial j_z}{\partial z}=-\frac{\partial \rho }{\partial t},$

tzn. dywergencja gęstości prądu $𝒋=(j_x,j_y,j_z)$ danej substancji jest równa prędkości zmniejszania się gęstości ładunku $\rho$ w tej substancji.

Np.

$𝒋$ – gęstość prądu elektrycznego,

$\rho$ – gęstości ładunku elektrycznego.

Pojęcia gęstość prądu substancji oraz gęstość substancji są definiowane analogicznie do gęstości prądu elektrycznego oraz gęstości ładunku elektrycznego.

Poglądowe objaśnienie równania ciągłości

Jeżeli w powyższym wzorze zamiast pochodnych wstawi się ilorazy różnicowe

$\frac{\mathrm{\Delta }{j}_x}{\mathrm{\Delta }x}+\frac{\mathrm{\Delta }{j}_y}{\mathrm{\Delta }y}+\frac{\mathrm{\Delta }{j}_z}{\mathrm{\Delta }z}=-\frac{\mathrm{\Delta }\rho }{\mathrm{\Delta }t},$

to można poglądowo wytłumaczyć sens równania ciągłości: Jeśli z danego obszaru więcej prądu wypływa niż do niego wpływa, czyli np.

$\mathrm{\Delta }{j}_x=j_{x+\mathrm{\Delta }x}-j_x>0,$

to różnica między gęstością ładunku w tym obszarze w chwili późniejszej i wcześniejszej jest ujemna

$\mathrm{\Delta }\rho ={\rho }_{t+\mathrm{\Delta }t}-{\rho }_t<0,$

co oznacza, że gęstość ładunku maleje w tym obszarze.

Równania ciągłości relatywistyczne

Postać relatywistyczna równania ciągłości

Oznaczając współrzędne czterowektora położenia

$x^0=ct,x^1=x,x^2=y,x^3=z$

oraz stosując definicję czterowektora gęstości prądu elektrycznego (lub czterowektora gęstości prądu dowolnej innej substancji), tj. przyjmując

$j^0=c\rho ,j^1=j_x,j^2=j_y,j^3=j_z$

z wcześniejszej wersji równania ciągłości otrzyma się

$\frac{\partial j^0}{\partial x^0}+\frac{\partial j^1}{\partial x^1}+\frac{\partial j^2}{\partial x^2}+\frac{\partial j^3}{\partial x^3}=0$

lub, po zastosowaniu konwencji sumacyjnej Einsteina

$\frac{\partial j^{\mu }}{\partial x^{\mu }}=0,$

gdzie $\mu =0,1,2,3.$

Zasada lokalnego zachowania substancji wyrażona poprzez równanie ciągłości oznacza więc, że:

Jeżeli dana substancja jest zachowana lokalnie, to

czterodywergencja prądu $\frac{\partial j^{\mu }}{\partial x^{\mu }}$ tej substancji zeruje się.

Znaczenie postaci relatywistycznej

Znaczenie zapisania równania ciągłości w postaci relatywistycznie niezmienniczej, tj. za pomocą 4-wektora prądu oraz 4-dywergencji jest następujące:

Jeżeli dana substancja spełnia równanie ciągłości według jakiegoś obserwatora, to będzie spełniać to równanie według dowolnego obserwatora, poruszającego się względem niego.

Tzn. obserwator ten sformułuje równanie ciągłości w analogicznej postaci

$\frac{\partial j^{\text{'}\mu }}{\partial x^{\text{'}\mu }}=0,$

gdzie:

$j^{\text{'}\mu }$ – 4-prąd, mierzony przez tego obserwatora,

$x^{\text{'}\mu }$ – 4-wektor położenia w układzie tego obserwatora.

Przykład: Zasada zachowania masy

W dynamice płynów lokalną zasadę zachowania masy wyraża wzór

$\frac{\partial \varrho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\varrho 𝒖)=0,$

gdzie:

$\varrho$ – gęstość płynu,

$𝒖$ – prędkość płynu,

$t$ – czas,

przy czym

$𝒋=\varrho 𝒖$

– gęstość prądu masy.

Równanie ciągłości w postaci całkowej

Równanie ciągłości może być również zapisane w postaci całkowej

$\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot 𝒋\mathrm{d}V=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{V}{\int }\rho \mathrm{d}V.$

Bibliografia

• David J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.