Równanie Johnsona-Mehla

Równanie Johnsona-Mehla – cząstkowe rozwiązanie równania prędkości przemiany, po przyjęciu szeregu upraszczających założeń. Zostało opracowane przez Johnsona i Mehla i pierwotnie posłużyło do opisu zależności prędkości przemiany od czasu przemiany dla izotermicznego rozpadu austenitu w perlit.

Założenia

• Zarodkowanie i wzrost cząstek nowej fazy biegną równolegle w trakcie całego czasu przemiany.
• Rozmieszczenie zarodków w objętości fazy wyjściowej jest całkowicie przypadkowe.
• Prędkość zarodkowania jest stała.
• Cząstki nowej fazy zarodkują i rosną w kształcie kul (zarodkowanie homogeniczne).
• Liniowa prędkość wzrostu nie zmienia się z czasem.

Idea równania J-M

Ogólne równanie prędkości przemiany:

$\frac{dy}{dt}=S_v(t)R(t),$

gdzie:

$y$ – ułamek przemiany (postęp przemiany) [m³],

$t$ – czas [s],

$S_v(t)$ – całkowita powierzchnia międzyfazowa, zmieniająca się z czasem [m²],

$R(t)$ – prędkość migracji powierzchni międzyfazowej, zmieniająca się z czasem [m/s].

Po uwzględnieniu założeń Johnsona-Mehla wprowadza się nowe współczynniki do powyższego równania. Ułamek przemiany y zostaje zastąpiony przez tzw. przedłużony ułamek przemiany y_y, a powierzchnia międzyfazowa S na przedłużoną powierzchnię międzyfazową S_y. Są to odpowiednio wielkości objętości i powierzchni międzyfazowej jaką posiadałyby cząstki nowej fazy, gdyby wzrastały bez zderzeń i mogły zarodkować w całej objętości materiału (nawet w miejscach, gdzie zaszła już przemiana).

Johnson i Mehl wykazali, że z całkowitej przedłużonej powierzchni międzyfazowej wszystkich sferycznych cząstek jedynie pewien jej ułamek nie znajduje się wewnątrz innych cząstek. Zapisać można to poniższą relacją:

$S=S_y(1-y).$

Po podłożeniu wszystkich nowych zmiennych i relacji oraz następnie scałkowaniu wyrażenia otrzymujemy równanie Johnsona-Mehla:

$y=1-\exp (-y_y).$

Relacja ta określa związek pomiędzy rzeczywistym ułamkiem przemiany y i hipotetycznym ułamkiem przedłużonym y_y. W zależności od przyjętych założeń odnośnie do geometrii faz, warunków zarodkowania oraz wzrostu, szczegółowa postać równania ulega zmianie. W każdym przypadku krzywa obrazująca zmianę ułamka przemiany w czasie objawia się w postaci sigmoidalnej.

Wykorzystanie praktyczne

Dane eksperymentalne dotyczące zmian ułamka przemiany w czasie pochodzą z badań:

• dylatometrycznych,
• magnetycznych,
• metalograficznych.

Układają się one w postaci krzywej sigmoidalnej. Z tego powodu równanie Johnsona-Mehla przedstawia się najczęściej w poniższej postaci:

$y=1-\exp -(kt{)}^n,$

gdzie:

$y$ – ułamek przemiany (postęp przemiany) [m³],

$k$ – stała prędkości przemiany [s⁻¹],

$t$ – czas [s],

$n$ – wykładnik potęgowy.

Kształt krzywej $y(\log (t))$ określony jest wartością wykładnika potęgowego. Stała prędkości przemiany determinuje położenie wykresu na osi czasu.

Wykładnik potęgowy n

Wartość wykładnika potęgowego może być wyznaczona graficznie dla wykresu o równaniu liniowym:

$\log (\ln \left[\frac{1}{1-y}\right])=n\log (t)+n\log (k).$

Wykładnik potęgowy ma wartość tangensa kąta nachylenia takiej prostej.

Stała prędkości przemiany k

Stałą prędkości przemiany można wyznaczyć odczytując z wykresu y(log(t)) wartość t_0,63. Wynika to z faktu, że dla kt = 1 ułamek przemiany wynosi 0,63.

$k=\frac{1}{t_{0,63}}.$

Wartość stałej prędkości ma zdecydowany wpływ na proces zarodkowania oraz mechanizm migracji powierzchni międzyfazowej. Obydwa te procesy są aktywowane cieplnie, dlatego dla stałej prędkości przemiany również można zapisać taką relację:

$k=k_0\exp (-\frac{Q}{RT}),$

gdzie:

$k_0$ – stała przedeksponencjalna [s⁻¹],

$Q$ – energia aktywacji przemiany [J/mol],

$R$ – stała gazowa [J/mol·K],

$T$ – temperatura bezwzględna [K].

Jeżeli dwu procesów krzywe sigmoidalne są izokinetyczne (przemiany zachodzą tym samym mechanizmem) to znając temperatury obydwu procesów (T₁ i T₂) można wyznaczyć energię aktywacji Q takiej przemiany. Krzywe izokinetyczne charakteryzują się tym, iż mają taki sam kształt, odpowiednie punkty leżą w takiej samej odległości dt na osi czasu oraz wykładnik potęgowy n jest taki sam dla obu przemian.

Zobacz też

• krzepnięcie
• rekrystalizacja
• równanie Avramiego
• równanie Gibbsa-Thomsona