Równania MHD

Szablon:Dopracować Równania MHD – podstawowe równania magnetohydrodynamiki, opisujące zachowanie się materii przewodzącej prąd elektryczny w tym szczególnie płynów w obecności pola magnetycznego.

"Idealna" MHD

Najprostszą postać równania MHD przyjmują w tzw. przybliżeniu idealnym. W idealnej MHD zakłada się, że płyn jest nielepki, o zaniedbywanej oporności. Innymi słowy jest to przypadek kiedy magnetyczna liczba Reynoldsa jest bardzo duża.

$\frac{\partial \varrho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\varrho 𝒗)=0$

$\frac{\partial \varrho 𝒗}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\varrho 𝒗𝒗)=-\mathrm{\nabla }p-\frac{1}{8\pi }\mathrm{\nabla }(B^2)+\frac{1}{4\pi }(𝑩\cdot \mathrm{\nabla })𝑩$

$\frac{\partial \epsilon }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\epsilon 𝒗)=-p\mathrm{\nabla }\cdot 𝒗$

$\frac{\partial 𝑩}{\partial t}=\mathrm{\nabla }\times (𝒗\times 𝑩)$

Powyższe równania to kolejno: równanie ciągłości masy, równanie ruchu, równanie energii, równanie indukcji.

Użyte symbole to:

• $\varrho$ – gęstość,
• $p$ – ciśnienie,
• $𝒗$ – prędkość,
• $𝑩$ – indukcja magnetyczna,
• $\epsilon$ – gęstość energii wewnętrznej

Równania MHD z opornością

Rozpatrując zjawisko, dla którego nie można zaniedbać oporności plazmy (np. grzanie korony słonecznej) należy uwzględnić w równaniach prawo Ohma. Układ równań przyjmie wtedy postać:

$\frac{\partial \varrho }{\partial t}=-\mathrm{\nabla }\cdot (\varrho 𝒗)$

$\varrho \frac{\partial 𝒗}{\partial t}=-\varrho (𝒗\cdot \mathrm{\nabla })𝒗-\mathrm{\nabla }P-\frac{1}{8\pi }\mathrm{\nabla }(B^2)+\frac{1}{4\pi }(𝑩\cdot \mathrm{\nabla })𝑩$

$\frac{\partial E}{\partial t}=-\mathrm{\nabla }[(E+P)𝒗]+\frac{4\pi {\eta }_{\mathrm{e}}}{c^2}|𝒋{|}^2$

$\frac{\partial 𝑩}{\partial t}=-\mathrm{\nabla }\times ({\eta }_{\mathrm{e}}\mathrm{\nabla }\times 𝑩)+\mathrm{\nabla }\times (𝒗\times 𝑩)$

gdzie:

• $𝒋$ – gęstość prądu
• ${\eta }_{\mathrm{e}}$ – oporność elektryczna
• $E$ – suma gęstości energii wewnętrznej i kinetycznej na jedn. objętości