Punkt rozgałęzienia

Wykres części urojonej funkcji logarytmicznej. Oś helisy stanowi punkt rozgałęzienia

Punkt rozgałęzienia funkcji analitycznej wieloznacznej $f$ to taki punkt $z_0,$ że przedłużając analitycznie tę funkcję dookoła $z_0$ za pomocą łańcucha kół $K_0,K_1,K_2,\dots K_n,$ takich że:

• każde zawiera $z_0,$
• każde jest przedłużeniem analitycznym poprzedniego,
• koło $K_n$ ma część wspólną z $K_0$ inną niż $\{z_0\},$

uzyskamy w kole $K_n$ funkcję o innych wartościach niż we wspólnej z $K_n$ części koła $K_0.$

Intuicja

Intuicyjnie, przemieszczając punkt $z$ po krzywej zamkniętej dookoła punktu rozgałęzienia $z_0,$ wartości $f(z)$ będą się zmieniały w sposób ciągły, jednak na końcu pętli wartość $f(z)$ będzie inna, niż wartość w tym samym punkcie na początku pętli.

Przykład punktu rozgałęzienia

Przykładem jest punkt $z_0$ dla funkcji $\log (z-z_0).$

Właściwości

Funkcja nie jest holomorficzna w pierścieniu otaczającym punkt rozgałęzienia. Nie można jej zatem w tym pierścieniu rozwinąć w szereg Laurenta. Można natomiast określić jej jednoznaczną gałąź w jednospójnym obszarze niezawierającym punktu rozgałęzienia.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę