Przestrzeń ccc

Przestrzeń ccc (albo: p. spełniająca warunek przeliczalnych antyłańcuchów, p. o własności Suslina) – przestrzeń topologiczna, w której każda rodzina zbiorów otwartych parami rozłącznych jest przeliczalna.

ccc a ośrodkowość

Każda przestrzeń ośrodkowa jest ccc. Istotnie, jeżeli D jest gęstym przeliczalnym podzbiorem przestrzeni X oraz $𝒜$ jest rodziną niepustych rozłącznych i otwartych podzbiorów X, to z gęstości zbioru D istnieje funkcja różnowartościowa przyporządkowująca każdemu punktowi zbioru D element rodziny $𝒜$ (każdy niepusty zbiór otwarty zawiera pewien punkt zbioru D). Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe - istnieje przestrzeń ccc, która nie jest ośrodkowa. Przykładem może być

$\{0,1{\}}^{2^{2^{{\mathrm{\aleph }}_0}}}$

z topologią produktową. Twierdzenie Hewitta-Marczewskiego-Pondiczeriego mówi, w szczególności, że produkt mniej niż continuum przestrzeni ośrodkowych jest przestrzenią ośrodkową. Odpowiedź na pytanie o to, czy produkt dwóch przestrzeni ccc jest nadal ccc, jest niezależne od aksjomatyki ZFC.

Produkt przestrzeni ccc

• Pod założeniem negacji hipotezy continuum i aksjomatu Martina produkt dowolnej rodziny przestrzeni ccc jest ccc.
• Pod założeniem hipotezy continuum istnieją przestrzenie ccc X i Y takie, że X × Y nie jest ccc.
  • Korzystając z konstrukcji przestrzeni Gleasona, można udowodnić na podstawie powyższego, że pod założeniem hipotezy continuum istnieje przestrzeń ccc, która jest zwarta, Hausdorffa, ekstremalnie niespójna X taka, że X × X nie jest ccc.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę