Przestrzeń Hilberta z jądrem reprodukującym

W analizie funkcjonalnej (gałąź matematyki) przestrzeń Hilberta z jądrem reprodukującym (ang. Reproducing Kernel Hilbert Space, RKHS) jest przestrzenią Hilberta $\mathscr{H}$ z iloczynem skalarnym $⟨-,\cdot ⟩$ funkcji określonych na zbiorze U o wartościach w ciele $F$ liczb rzeczywistych lub zespolonych, w której wszystkie funkcjonały ewaluacji, tzn. funkcjonały

$E_x:U\ni x\mapsto f(x)\in F$

są ciągłe, tzn. dla każdego $x\in U$ istnieje taka stała $C_x,$ że

$|f(x)|⩽C_x||f||=C_x\sqrt{⟨\bar{f},f⟩},$

gdzie stała $C_x$ nie zależy of wyboru funkcji $f.$

Z grubsza oznacza to, że jeśli dwie funkcje $f$ oraz $g$ w przestrzeni Hilberta „leżą blisko siebie” w normie, tzn. $\Vert f-g\Vert$ jest małe, to $f$ oraz $g$ są również „punktowo bliskie”, tj. $|f(x)-g(x)|$ jest małe. Odwrotność nie musi być prawdziwa.

Jeśli funkcjonały ewaluacji są ciągłe, to na mocy Twierdzenia Riesza dla każdego $E_x$ istnieje takie $\overline{e_x}\in \mathscr{H},$ że

$⟨\overline{e_x}|f⟩=f(x)$

dla każdej funkcji $f\in \mathscr{H}.$

Funkcję $K:U\times U\to F$ określoną w następujący sposób:

$K(x,y):=e_x(y)$

nazywamy jądrem reprodukującym przestrzeni $\mathscr{H}.$ Funkcja ta posiada własność reprodukowania, tzn. zachodzi

$⟨\overline{K(x,\cdot )},f(\cdot )⟩=f(x)$

dla każdych $f\in \mathscr{H},x\in U$.

Jeśli przestrzeń Hilberta funkcji posiada jądro reprodukujące, to jest ono wyznaczone jednoznacznie. Ponadto każda skończeniewymiarowa przestrzeń Hilberta funkcji jest przestrzenią Hilberta z jądrem reprodukującym. Istotnie, każdy operator liniowy z przestrzeni unormowanej skończonego wymiaru w przestrzeń unormowaną skończonego wymiaru jest ciągły, a zatem w szczególności ciągłe są również wszystkie funkcjonały ewaluacji.

Żeby w ogóle pojęcie funkcjonału ewaluacji było dobrze określone, musimy mieć do czynienia z przestrzenią Hilberta funkcji. W szczególności przestrzeń $L^2(U)$ nie jest przestrzenią funkcji, lecz klas, gdzie dwie funkcje należą do jednej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy różnią się na zbiorze miary Lebesgue’a równej zero, z czego wynika w szczególności, że pojęcie wartości dla elementu $f\in L^2(U)$ w punkcie $x\in U$ nie ma sensu.

Przykłady

Przestrzeń Hilberta ${ℝ}^n$ lub ${ℂ}^n$ z naturalnym iloczynem skalarnym

$⟨v|w⟩=\sum _{i=1}^n\overline{v_i}{w}_i$

dla $v=(v_1,v_2,\dots ,v_n),w=(w_1,w_2,\dots ,w_n)$

może być traktowana jako przestrzeń Hilberta funkcji określonych na zbiorze $\{1,2,\dots ,n\}$ o wartościach w $ℝ$ lub $ℂ$ odpowiednio. Przestrzeń taka wyposażona jest w jądro reprodukujące

$K(x,y)={\delta }_x(y),$

gdzie:

${\delta }_x(y)=\{\begin{array}{cc}1,& x=y\\ 0,& x\ne y\end{array}.$

Innym przykładem przestrzeni Hilberta z jądrem reprodukującym jest przestrzeń $L^{2}H(U)$ składająca się z funkcji holomorficznych i całkowalnych z kwadratem w sensie miary Lebesgue’a na obszarze $U\subset {ℂ}^n.$ Jądro reprodukujące takiej przestrzeni nazywa się jądrem Bergmana. Jeśli $U$ jest kołem o środku w zerze i promieniu 1 w $ℂ,$ to jądro Bergmana przestrzeni $L^{2}H(U)$ wyraża się wzorem

$K(x,y)=\frac{1}{\pi }\frac{1}{(1-x\bar{y}{)}^2}$.

Opisano także przykłady przestrzeni Hilberta funkcji, które nie posiadają jądra reprodukującego, tj. takich przestrzeni Hilberta, dla których funkcjonały ewaluacji nie są ciągłe.