Przestrzeń Apperta

Przestrzeń Apperta – kontrprzykład w topologii ogólnej, przykład przeliczalnej przestrzeni topologicznej, która:

• jest całkowicie normalna;
• nie jest przeliczalnie zwarta;
• nie spełnia pierwszego aksjomatu przeliczalności;
• nie jest lokalnie zwarta.

Konstrukcja

Jeśli $E$ jest podzbiorem zbioru $\mathbb{N}$ liczb naturalnych (bez zera), to symbolem $N(E,n)$ oznaczać będziemy liczbę elementów zbioru $E,$ które są mniejsze badź równe $n.$ Podzbiór $C\subseteq \mathbb{N}$ nazwiemy otwartym, jeśli $1\notin C$ lub jeżeli $1\in C,$ to

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{N(C,n)}{n}=1.$

Tak zdefiniowana rodzina otwartych podzbiorów zbioru liczb naturalnych wprowadza topologię w $\mathbb{N}.$

Bibliografia

• A. Appert, Propriétés des Espaces Abstraits les Plus Généraux, Actualités Scientifiques et Industrielles, nos. 145 and 146, Paris, 1934, s. 82–88.
• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. Szablon:ISBN (Dover edition).