Przekątna

Jedna z przekątnych sześcianu (A′C) oraz jednej z jego ścian (B′D′)

Przekątna, dawniej przekątnia – pojęcie geometryczne o dwóch znaczeniach:

• w geometrii płaskiej (planimetrii): odcinek łączący dwa wierzchołki wielokąta nieleżące na jednym boku tego wielokąta,
• w geometrii trójwymiarowej (stereometrii): odcinek łączący dwa wierzchołki wielościanu nieleżące na jednej ścianie tego wielościanu.

Kombinatoryka przekątnych

Liczba przekątnych w $n$-kącie (czyli wielokącie o $n$ wierzchołkach) wynosi

$p=\frac{n(n-3)}{2}.$

Liczba sposobów, na które n-kąt wypukły może być podzielony nieprzecinającymi się oprócz końców przekątnymi na trójkąty to $C_{n-2}$ (za pomocą $n-3$ przekątnych), gdzie $C_n$ to $n$-ta liczba Catalana.

Liczba rozłącznych obszarów na które przekątne dzielą $n$-kąt wypukły (o ile żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie w jego wnętrzu):

$N=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2})=\frac{1}{24}(n-1)(n-2)(n^2-3n+12).$

Początkowe wartości tego ciągu dla $n=3,4,\dots$ wynoszą: 1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 Szablon:OEIS.

Długości przekątnych

Przekątne kwadratu (AC i BD) przecinają się pod kątem prostym.

Przekątna prostokąta o bokach długości $a$ i $b$ ma długość

$d=\sqrt{a^2+b^2}.$

Przekątna kwadratu o boku długości $a$ ma długość

$d=a\sqrt{2}.$

Długość dłuższej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości $a$ wynosi

$d=2a.$

Długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości $a$ wynosi

$d=a\sqrt{3}.$

Przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości $a,$ $b$ i $c$ ma długość

$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$

Przekątna sześcianu o krawędzi długości $a$ ma długość

$d=a\sqrt{3}.$

Zobacz też

• przekątna główna macierzy
• twierdzenie o wolnej przekątnej

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:MathWorld
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-11-02].