Proces stochastyczny progresywnie mierzalny

Progresywna mierzalność – własność procesu stochastycznego, która jest silniejsza od adaptowania procesu do danej filtracji.

Definicja

Niech

• $(\mathrm{\Omega },ℱ,𝖯)$ będzie przestrzenią probabilistyczną;
• $(U,𝒜)$ będzie przestrzenią mierzalną;
• $X:T\times \mathrm{\Omega }\to U$ będzie procesem stochastycznym (gdzie $T=[0,\mathrm{\infty }),[0,t_0],{\mathbb{N}}_0$ itp.);
• $\{{ℱ}_t:t\in T\}$ będzie ustaloną filtracją (tj. niemalejącą rodziną pod-σ-algebr σ-algebry $ℱ$);
• $ℬ([0,t])$ oznacza algebrę zbiorów borelowskich na $[0,t]\cap T.$

Proces $X$ nazywany jest progresywnie mierzalnym względem filtracji $({ℱ}_t),$ gdy dla każdego $t\in T$ odwzorowanie

$[0,t]\cap T\times \mathrm{\Omega }\to U$

określone wzorem

$(s,\omega )\mapsto X_s(\omega )$

jest mierzalne względem σ-algebry produktowej $ℬ([0,t])\otimes {ℱ}_t$Szablon:Odn.

W szczególności, proces $X$ jest adaptowany do filtracji ${ℱ}_t.$

Zbiory progresywnie mierzalne

Podzbiór $P\subseteq T\times \mathrm{\Omega }$ jest progresywnie mierzalny, gdy proces

$X_s(\omega ):={\mathrm{𝟏}}_P(s,\omega )$

jest progresywnie mierzalny (zob. funkcja charakterystyczna zbioru). Zbiór progresywnie mierzalnych podzbiorów $T\times \mathrm{\Omega }$ tworzy σ-algebrę.

Własności

• Niech $B=(B_t{)}_{t⩾0}$ będzie ruchem Browna. Przestrzeń tych procesów stochastycznych $X:[0,t_0)\times \mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n,$ dla których całka Itō

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}_t\mathrm{d}{B}_t$

względem $B$ jest zdefiniowana, jest tożsama z rodziną (klas abstrakcji) procesów stochastycznych należących do przestrzeni Lebesgue’a $L^2([0,t_0]\times \mathrm{\Omega };{ℝ}^n).$

Bibliografia

• Andrea Pascucci, PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Springer, Berlin 2011.